Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

Ver Teoria
Exercício 461234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Questão 2: Calcule a integral tripla

∭ D   z   d V

Onde:

D = x ,   y ,   z |   x 2 + y 2 ≤ z ,   x 2 + y - 1 2 + z 2 ≤ 1

Passo 1

Pow! Para começar um exercício como esse nós vamos começar como sempre é recomendado: desenhando o sólido W ;)

Bem, esse sólido é formado por um cone centrado na origem: z = x 2 + y 2 :

só que está delimitado por cima por essa esfera de raio 1 , x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 e deslocado em y por 1 unidade, nos dando o sólido W .

Passo 2

Bem, como estamos trabalhando dentro de uma esfera, nada mais legal que pensarmos em uma mudança para coordenadas esféricas

onde vamos trocar

x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ                  

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin ⁡ φ

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 3

Vamos começar aqui falando do raio! Bem, ele está variando da origem até o raio limite que é o da própria esfera:

0 ≤ r ≤ e s f e r a

Como a equação da esfera é:

r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ sin ⁡ θ - 1 2 + r cos ⁡ φ 2 = 1       →

r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ - 2 r sin ⁡ φ sin ⁡ θ + 1 + r 2 cos 2 ⁡ φ = 1       →

r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ φ - 2 r sin ⁡ φ sin ⁡ θ = 0     →

r 2 sin 2 ⁡ φ + r 2 cos 2 ⁡ φ = 2 r sin ⁡ φ sin ⁡ θ     →

r 2 sin 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ = 2 r sin ⁡ φ sin ⁡ θ     →

r 2 = 2 r sin ⁡ φ sin ⁡ θ     →

r = 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ

Então...

0 ≤ r ≤ 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ

Esse ângulo θ também é bem fácil, basta você observar que no nosso volume o ângulo θ varia de 0 até 180 ° ...

0 ≤ θ ≤ π

Quanto ao ângulo φ , bem... Ele é um pouquinho mais chato, mas não se preocupe que você vai pegar fácil também, vêm comigo separado

Passo 4

Bem, se você reparar novamente no sólido,

você vai notar que o ângulo φ está variando do 0 (eixo z ) até a barreira formada pelo cone:

0 ≤ φ ≤ C o n e

Ele tem equação z = x 2 + y 2 . Epa! Estamos trabalhando com as coordenadas polares, então devemos substitui-las nessas equações, veja:

z = x 2 + y 2                   →                           r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ sin ⁡ θ 2                     →

      r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ                         →

    r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = r 2 sin 2 ⁡ φ

Como o seno é positivo e o raio também...

r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ     →         1 ∙   r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ

passando esse r cos  ⁡ φ pro outro lado dividindo...

r sin ⁡ φ r cos ⁡ φ = 1           →           tan ⁡ φ = 1

Nessas condições, φ = 45 ° = π 4 . Logo...

0 ≤ φ ≤ π 4

Passo 5

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   z   d V

Lembre-se de substituir pelas coordenadas cilíndricas e não deixar de multiplicar pelo J a c o b i a n o ;)

∫ 0 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ r cos ⁡ φ   J   d r d φ d θ =

∫ 0 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ r cos ⁡ φ   r 2 sin ⁡ φ   d r d φ d θ = ∫ 0 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ r 3 sin ⁡ φ cos ⁡ φ   d r d φ d θ

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ 0 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ ∫ 0 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ r 3   d r d φ d θ

∫ 0 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ r 4 4 0 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ d φ d θ =

∫ 0 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ 4 4 d φ d θ =

4 ∫ 0 π ∫ 0 π 4 sin 4 ⁡ θ sin 5 ⁡ φ cos ⁡ φ d φ d θ = 4 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ ∫ 0 π 4 sin 5 ⁡ φ cos ⁡ φ d φ d θ

Realizando uma mudança simples, integramos a do meio

sin ⁡ φ = t       →           d t = cos ⁡ φ d φ

(troque também os limites de integração)

φ = 0           →               t = sin ⁡ 0 = 0

φ = π 4           →               t = sin ⁡ π 4 = 2 2

Retornando a integral, substituindo e calculando, concluímos que

4 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ ∫ 0 π 4 sin 5 ⁡ φ cos ⁡ φ d φ d θ = 4 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ ∫ 0 2 2 t 5   d t d θ =

4 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ t 6 6 0 2 2 d θ = 4 2 2 6 6 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ d θ =

4 ⋅ 8 64 ⋅ 1 6 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ d θ = 1 12 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ d θ

Para calcular essa integral, basta fazer:

sin 4 ⁡ θ = sin 2 ⁡ θ 2 = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 2 =

1 - 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ 4 = 1 4 - 1 2 cos ⁡ 2 θ + 1 4 ⋅ 1 + cos ⁡ 4 θ 2 =

3 8 - 1 2 cos ⁡ 2 θ + 1 8 cos ⁡ 4 θ

Então...

1 12 ∫ 0 π sin 4 ⁡ θ d θ = 1 6 ∫ 0 π 3 8 - 1 2 cos ⁡ 2 θ + 1 8 cos ⁡ 4 θ d θ =

1 12 3 8 θ - 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 θ 2 + 1 8 ⋅ sin ⁡ 4 θ 4 0 π =

1 12 3 8 π - 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 π 2 + 1 8 ⋅ sin ⁡ 4 π 4 - 3 8 ⋅ 0 - 1 2 ⋅ sin ⁡ 0 2 + 1 8 ⋅ sin ⁡ 0 4 =

π 32

Resposta

π 32

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície com a equação dada. ρ cos ⁡ ϕ = 1
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. ρ 2 - 3 ρ + 2 = 0
Use coordenadas esféricas.Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a e seu centro.
Dentre as coordenadas cilíndricas e esféricas, utiliza a que lhe parecer mais apropriada.Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base a e altura h .Encontre o momento de inércia do cil
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ