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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Questão 2: Seja a > 0 e considere

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,   0 ≤ y ≤ x ,   z ≥ 0 .

Seja a integral

I = ∭ U   z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

  1. Escreva I usando coordenadas cilíndricas r ,   θ ,   z .
  2. Escreva I usando coordenadas esféricas ρ ,   ϕ ,   θ .
  3. Calcule I para a = π 2 .

Passo 1

Primeiro vamos desenhar o nosso sólido U para termos uma visão geométrica do problema, ok?

ORA! x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , trata-se do interior de uma esfera de aio a qualquer...

y = x é um plano que dá pra desenhar primeiro riscando a reta y = x no plano x y e depois puxando pra cima...

Como 0 ≤ y e 0 ≤ z , o nosso U é apenas a metade desse gomo de vermelho aqui:

Passo 2

Letra A)

Para descrever esse cara em coordenadas cilíndricas, devemos nos lembrar de que...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

x 2 + y 2 = r 2

J = r

Onde o r , θ e o z variam dessa forma aqui:

Passo 3

Comparando o nosso sólido com a forma de variação das variáveis novas...

Podemos perceber que a altura z entra no U por baixo em z = 0 e sai por cima na equação da esfera...

x 2 + y 2 + z 2 = a 2   →

r 2 + z 2 = a 2   →

z = a 2 - r 2

Então...

0 ≤ z ≤ a 2 - r 2

Enquanto que o r e o θ variam na projeção do sólido no plano x y . Tal projeção, por se tratar de uma esfera em cima de z = 0 ...

x 2 + y 2 + 0 2 = a 2   →       x 2 + y 2 = a 2

Isso aí é a equação de uma circunferência de raio a , então a projeção no plano x y é...

Veja que o θ está variando de 0 ate a reta y = x ...

0 ≤ θ ≤ r e t a   y = x   →

Como

y = x     →

r sin ⁡ θ = r cos ⁡ θ   →

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 1     →

tan ⁡ θ = 1     →

θ = π 4

Então

0 ≤ θ ≤ π 4

Por último, basta observar que o r é o raio na região que vaia de 0 até o raio máximo que é a ...

0 ≤ r ≤ a

Passo 4

Escrevendo a integral então nessas coordenadas...

I = ∭ U   z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z   →

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - r 2 z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ r 2 + z 2 ⋅ J   d z d r d θ   →

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - r 2 z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ r 2 + z 2 ⋅ r   d z d r d θ

Passo 5

Letra B)

Nas coordenadas esféricas, no entanto, devemos fazer...

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

Onde as coordenadas ariam dentro de uma esfera...

Passo 6

Para encontrar os limites dessa coordenadas aí no nosso sólido a gente deve comparar:

Veja que dessa vez o ρ varia de 0 até o raio da esfera máxima:

0 ≤ ρ ≤ a

Enquanto isso, ângulo θ continua variando de 0 até π 4 ...

0 ≤ θ ≤ π 4

Já o ângulo ϕ varia de 0   até o plano x y fazendo um ângulo total de π / 4 ...

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Passo 7

Novamente montando a integral, mas dessa vez nas coordenadas esféricas...

I = ∭ U   z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z =

∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ cos ⁡ ϕ ⋅ cos 2 ⁡ ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ρ 2 ⋅ J   d ρ d ϕ d θ =

∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ cos ⁡ ϕ ⋅ cos 2 ⁡ ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ρ 2 ⋅ ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d ϕ d θ

Passo 8

Letra C)

Vamos escolher uma das integrais e trabalhar com ela, ok? Vamos escolher a primeira:

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - r 2 z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ r 2 + z 2 ⋅ r   d z d r d θ   →

Lembrando que sin ⁡ r 2 + z 2 = sin ⁡ r 2 cos ⁡ z 2 + sin ⁡ z 2 cos ⁡ r 2 ...

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ r 2 cos ⁡ z 2 + sin ⁡ z 2 cos ⁡ r 2 ⋅ r   d z d r d θ →

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z r ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ r 2 cos ⁡ z 2 + z r ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ z 2 cos ⁡ r 2   d z d r d θ →

Podemos separar essa integral aí em duas:

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z r ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ r 2 cos ⁡ z 2   d z d r d θ + ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z r ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ z 2 cos ⁡ r 2   d z d r d θ

Passo 9

Vamos calcular a primeira delas...

∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z r ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ r 2 cos ⁡ z 2   d z d r d θ =

∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r sin ⁡ r 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z ⋅ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ z 2   d z d r d θ

Fazendo uma mudança como essa daqui:

sin ⁡ z 2 = t   →

d t = cos ⁡ z 2 ⋅ 2 z d z   →         d t 2 = cos ⁡ z 2 ⋅ z d z  

Não se esquecendo de trocar também os limites de intgeração...

z = 0                         →                     t = 0

z = π 2 - r 2                         →                     t = sin ⁡ π 2 - r 2

Então...

∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r sin ⁡ r 2 ∫ 0 sin ⁡ π 2 - r 2 1 - t 2 d t 2 d r d θ =

1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r sin ⁡ r 2 t - t 3 3 0 sin ⁡ π 2 - r 2 d r d θ =

1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r sin ⁡ r 2 sin ⁡ π 2 - r 2 - sin 3 ⁡ π 2 - r 2 3 d r d θ =

Pow: sin ⁡ π 2 - r 2 = cos ⁡ r 2 ...

1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r sin ⁡ r 2 cos ⁡ r 2 - cos 3 ⁡ r 2 3 d r d θ =

Fazendo outra mudança...

cos ⁡ r 2 = y     →

d y = - 2 sin ⁡ r 2 r d r   →   sin ⁡ r 2 r d r = - d y 2

r = 0         →           y = 1

r = π 2         →           y = 0

Logo...

1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 1 0 - y - y 3 3 d y 2 d θ = 1 4 ∫ 0 π 4 ∫ 0 1 y - y 3 3 d y d θ =

1 4 ∫ 0 π 4 y 2 2 - y 4 12 0 1 d θ = 1 4 1 2 - 1 12 ∫ 0 π 4 d θ =

1 4 1 2 - 1 12 π 4 = 5 π 192

Passo 10

Vamos fazer continhas semelhantes para essa integral aqui

∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r cos ⁡ r 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ z 2   d z d r d θ =

Com a mudança...

cos ⁡ z 2 = u   →

d u = - sin ⁡ z 2 ⋅ 2 z d z         o u     - d u 2 = sin ⁡ z 2 ⋅ z d z        

z = 0           →         u = 1

z = π 2 - r 2             →             u = cos ⁡ π 2 - r 2

Então...

- 1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r cos ⁡ r 2 ∫ 1 cos ⁡ π 2 - r 2 u 2 d u d r d θ =

- 1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r cos ⁡ r 2 u 3 3 1 cos ⁡ π 2 - r 2 d r d θ =

- 1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r cos ⁡ r 2 cos ⁡ π 2 - r 2 3 3 - 1 3 d r d θ =

Novamente, estamos considerando cos ⁡ π 2 - r 2 = sin ⁡ r 2 ...

- 1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 r cos ⁡ r 2 sin ⁡ r 2 3 3 - 1 3 d r d θ =

A última mudança que vamos fazer é...

v = sin ⁡ r 2     →

d v = cos ⁡ r 2 2 r d r         o u       d v 2 = cos ⁡ r 2 r d r        

r = 0     →       v = 0

r = π 2     →       v = 1

- 1 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 1 v 3 3 - 1 3 d v 2 d θ = - 1 4 ∫ 0 π 4 v 4 12 - 1 3 v 0 1 d θ =

- 1 4 1 12 - 1 3 π 4 = 3 192 π

Passo 11

Podemos concluir então que...

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z r ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ r 2 cos ⁡ z 2   d z d r d θ + ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - r 2 z r ⋅ cos 2 ⁡ z 2 sin ⁡ z 2 cos ⁡ r 2   d z d r d θ   →

I = 5 π 192 + 3 192 π →

I = π 24

Resposta

Letra a)

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - r 2 z ⋅ cos 2 ⁡ z 2 ⋅ sin ⁡ r 2 + z 2 ⋅ r   d z d r d θ

Letra b)

I = ∫ 0 π 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ cos ⁡ ϕ ⋅ cos 2 ⁡ ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ρ 2 ⋅ ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d ϕ d θ

Letra c)

I = π 24

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