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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Questão 5. Calcule a massa do sólido cujos pontos de coordenadas x ,   y ,   z   satisfazem x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 , sabendo que a densidade em cada ponto é igual à distância deste ponto ao plano x y .

Passo 1

Cara, massa de um sólido a essa altura do campeonato para a gente não é nada mais é do que uma integral tripla

M a s s a W = ∭ W   ρ x ,   y ,   z d V

Onde já temos a função de densidade ρ x ,   y ,   z , pois o problema nos disse que é a distância de um ponto x ,   y ,   z até o plano x y , ou seja, é a própria altura z ...

ρ x ,   y ,   z = z

Mas aí surge uma dúvida:

  • Quem é o sólido W que estamos trabalhando?

Passo 2

Vamos começar aqui respondendo a primeira pergunta!

Bem, esse sólido é formado pelo cones centrados na origem z = x 2 + y 2

Só que está delimitado em cima por essa esfera de raio 1 , x 2 + y 2 + z 2 = 1 , nos dando o sólido W :

O sorvete, sacou?

Passo 3

Bem, como estamos trabalhando dentro de uma esfera, nada mais legal que pensarmos em uma mudança para coordenadas esféricas

onde vamos trocar

x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ                  

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin ⁡ φ

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 4

Vamos começar aqui falando do raio! Bem, ele está variando da origem até o raio limite que é o da própria esfera:

0 ≤ r ≤ R a i o   d a   e s f e r a

0 ≤ r ≤ 1

Esse ângulo θ , basta você observar que a esfera dá uma volta completa ao redor do eixo z , logo

0 ≤ θ ≤ 2 π

Quanto ao ângulo φ , bem... Ele é um pouquinho mais chato, mas não se preocupe que você vai pegar fácil também, vêm comigo separado

Passo 5

Bem, se você reparar novamente no sólido,

você vai notar que o ângulo φ está variando do eixo z até o cone azul:

0 ≤ φ ≤ C o n e   a z u l

O cone azul tem equação z = x 2 + y 2 . Epa! Estamos trabalhando com as coordenadas polares, então devemos substitui-las nessa equação, veja!

z = x 2 + y 2                   →                           r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ sin ⁡ θ 2                     →

      r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ                         →

    r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = r 2 sin 2 ⁡ φ

Como o seno é positivo e o raio também...

r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ     →         1 ∙   r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ

passando esse r cos  ⁡ φ pro outro lado dividindo...

r sin ⁡ φ r cos ⁡ φ = 1           →           tan ⁡ φ = 1

Nessas condições, φ = 45 ° = π 4

Logo

0 ≤ φ ≤ π 4

Passo 6

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abra��o!

∭ W   ρ x ,   y ,   z d V = ∭ W   z   d V

Lembre-se de substituir a função ρ x ,   y ,   z = z pelas coordenadas esféricas e não deixar de multiplicar pelo Jacobiano ;)

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 1 r cos ⁡ φ   J   d r d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 1 r cos ⁡ φ   r 2 sin ⁡ φ   d r d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 1   r 3 sin ⁡ φ cos ⁡ φ   d r d φ d θ

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ ∫ 0 1   r 3   d r d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ r 4 4 0 1 d φ d θ =

1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ d φ d θ =

Realizando uma mudança simples, integramos a do meio

sin ⁡ φ = t       →           d t = cos ⁡ φ d φ

(troque também os limites de integração)

φ = 0           →               t = sin ⁡ 0 = 0

φ = π 4           →               t = sin ⁡ π 4 = 2 2

Retornando a integral, substituindo e calculando, concluímos que

1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ d φ d θ = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 t   d t d θ =

1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 t   d t d θ =

1 4 ∫ 0 2 π t 2 2 0 2 2 d θ =

1 4 2 2 2 2 ∫ 0 2 π d θ =

1 16 2 π =

1 8 π

Resposta

π 8

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