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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Calcule ∭ B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }

Passo 1

Precisamos escrever matematicamente essa região. Como B é limitada por uma esfera e a função a ser integrada possui termos quadráticos, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Como já vimos, a região de integração passa a ser, então:

B = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ ρ ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π }

Passo 2

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada. Sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em coordenadas esféricas. Temos, então:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 2 3 / 2 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 3 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 3

Fazendo a substituição ρ 3 = u , temos 3 ρ 2 d ρ = d u . A integral passa a ser:

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e u s e n   φ d u   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ e u u = 0 u = 1   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ ( e - 1 ) d θ   d φ =

Passo 4

Agora, integramos em relação a θ :

= ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   θ θ = 0 θ = 2 π   d φ =

= 2 π ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   d φ =

Passo 5

Finamente, integramos em relação a φ :

= - 2 π ( e - 1 ) 3 cos ⁡ φ 0 π =

= - 2 π e - 1 3 - 1 - - 2 π e - 1 3 =

= 2 π e - 1 3 + 2 π e - 1 3 =

Resposta

4 π e - 1 3

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