UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Integrais duplas e triplas
27. Calcule a integral
Passo 1
Falaaa... beleza??
Nessa questão vamos calcular essa integral tripla toooda feiosa.
Pooo... isso tudo aí parece com coordenadas esféricas, né?
Lembrando que as coordenadas esféricas são representadas por:
E não esquecendo do Jacobiano:
Repara que o que tem dentro da integral é justamente o Jacobiano... Ohhh... Estamos no caminho certo.
Passo 2
A variação de é de até .
Carambaaa.. é justamente e ...
Como o varia de até e o varia de 0 até , temos apenas o primeiro quadrante. E a curva é o plano .
Desenhando a região de integração, que é o plano no primeiro quadrante
Passo 3
Repara que o varia de até , o varia de até e o varia de até 1.
Quando a gente passa algo pra coordenadas esféricas, precisamos adicionar o Jacobiano, né? COmo estamos fazendo o contrário, vamos só tirar.
A integral tripla pode reescrita como:
Resolvendo: