Seja função contínua. Se
Então é:
Escolha uma:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
E aí? A ideia aqui é a gente escrever essa região com inequações cartesianas.
Vamos reunir as informações que a gente tem para tentar entender que região é essa. Vemos que a mudança aplicada foi a de coordenadas esféricas, pois no argumento de temos as expressões
E o integrando está multiplicado pelo jacobiano dessa mudança.
E dos extremos de integração, podemos tirar essas relações:
Como tudo isso em mente, vamos seguir. A gente consegue!
Passo 2
Vamos substituir nossas expressões da mudança de variáveis nas inequações que a gente tem para sairmos de e irmos para .
Uma dica é começar pelos limitantes de . Temos
Vamos olhar primeiro
A gente viu que
E sabemos que
Lembrando que é sempre positovo, daí a gente tira que
Substituindo na inequação:
Elevando tudo ao quadrado
Essa está na forma cartesiana, então é parte da nossa resposta!
Passo 3
A outra é essa inequação
A gente precisa tirar esse dali. Podemos pensar em usar a expressão da mudança que tem o termo . O nosso :
Para ele aparecer ali, a gente pode multiplicar os dois lados da inequação por
Aí a gente pode substituir as expressões que a gente tem para e para :
Prontinho, essa é a outra parte da nossa resposta!
Aí podemos dizer que
Resposta
Letra a