Calcule o limite abaixo

l_i(m_x → ∞) g(x)

onde

(5x - 1) / x < g(x) < (5x^2 + 3x) / (x^2 - 4) ∀ x > 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é Calcular o limite

l i m x → ∞ g ( x )

onde

5 x - 1 x < g ( x ) < 5 x 2 + 3 x x 2 - 4   ∀ x > 2

Passo 2

Bem, queremos o limite

l i m x → ∞ g ( x )

onde

5 x - 1 x < g ( x ) < 5 x 2 + 3 x x 2 - 4   ∀ x > 2

Bem, não temos a nossa função g ( x ) , mas temos uma relação de desigualdade entre ela e outras duas funções. Então poderíamos ver o que acontece com o limite desses funções e tentarmos realizar alguma inferência sobre o limite da g . Bem, vamos começar vendo

l i m x → ∞ 5 x - 1 x

Notem que estamos fazendo um limite no infinito. Isso quer dizer que os únicos termos relevantes para esse limite são as potências de maior grau da nossa função. Como a função é

5 x - 1 x

Suas potências de maior grau são:

5 x x

Logo o nosso limite é equivalente a

l i m x → ∞ 5 x - 1 x = l i m x → ∞ 5 x x

= 5

De forma análoga, vamos calcualr

l i m x → ∞ 5 x 2 + 3 x x 2 - 4

l i m x → ∞ 5 x 2 + 3 x x 2 - 4 = l i m x → ∞ 5 x 2 x 2

= 5

Passo 3

Ou seja, chegamos a conclusão que

l i m x → ∞ 5 x - 1 x = l i m x → ∞ 5 x 2 + 3 x x 2 - 4 = 5

Mas temos a relação

5 x - 1 x < g ( x ) < 5 x 2 + 3 x x 2 - 4   ∀ x > 2

Ou seja,

l i m x → ∞ 5 x - 1 x ≤ l i m x → ∞ g ( x )

⇒ 5 ≤ l i m x → ∞ g ( x )

E temos que

l i m x → ∞ g ( x ) ≤ l i m x → ∞ 5 x 2 + 3 x x 2 - 4

⇒ l i m x → ∞ g ( x ) ≤ 5

Ou seja, chegamosa conclusão que

l i m x → ∞ g ( x ) = 5

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

5

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