UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Limites e Continuidade, Questão 2.8
Determine os valores de para os quais existe o limite
.
Passo 1
Eaew, beleza?
Precisamos calcular o seguinte limite
ao avaliar diretamente teremos uma indeterminação do tipo , portanto, teremos que reescrever o limite! Limites como o acima tem uma maneira bastante específica de se resolver! Consegue se lembrar? Além disso, vamos precisar estudar valores de que garantam a existência desse limite! Vou discutir isso com mais calma ao longo dos passos! Vem comigo!
Passo 2
Quando temos um limite no infinito de uma razão de polinômios, podemos reescrever o limite dividindo numerador e denominador pelo maior grau presente, em nosso caso, por , obtemos que
se avaliarmos agora o limite, iremos obter simplesmente que
note que toda constante dividida por tende ao infinito. Sendo assim, para qualquer constante teríamos que o limite não existe! Mas, será que tem alguma excessão? SIM, quando , o limite acima é indeterminado! Ou seja, vamos precisar analisar esse caso com mais calma! Saca só!
Passo 3
Com temos que nosso limite se torna
novamente, podemos resolver dividindo o numerador e denominador pelo maior grau dos polinômios, mas agora, o maior grau se torna , de forma que temos
avaliando o limite, temos que
ou simplesmente
que é um limite válido! Mas o que esse problema quis mostrar? Sempre que você tem razões entre polinômios em limites no infinito, se o polinômio no numerador tem grau maior que o polinômio do denominador, o limite não existe, mas se o grau do numerador for igual ou menor, o limite existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!