7.3 Para as funções abaixo, encontre os limites quando (i) x → ∞ e (ii) x → - ∞ . Em seguida, determine quais funções admite uma assíntota horizontal. Inclua as equações e os gráficos das assíntotas, bem como um esboço dos gráficos dessas funções indicando o(s) comportamento(s) assintóticos no infinito.

f) f x = x 2 + x - x 2 - x

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular o limite de x 2 + x - x 2 - x quando x tendo a e quando x tende a - ∞ .

Se esses limites derem algum número (que não seja infinito), então vai apresentar assíntota horizontal e esse número vai indicar a reta paralela ao eixo x , que a assíntota vai encostar lááá no infinito.

Passo 2

(i) pra x tendendo a :

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 - x  

Multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado:

= lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 - x x 2 + x + x 2 - x x 2 + x + x 2 - x  

= = lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 + x x 2 + x + x 2 - x  

= lim x → ∞ ⁡ 2 x x 2 + x + x 2 - x  

Dividindo por x 2 = x em cima e embaixo:

= lim x → ∞ ⁡ 2 x x x 2 x 2 + x x 2 + x 2 x 2 - x x 2  

= lim x → ∞ ⁡ 2 1 + 1 x + 1 - 1 x  

O que tem x embaixo vai pra zero:

= 2 1 + 0 + 1 - 0

= 1

Então uma assíntota y = 1 quando x → ∞

Passo 3

(ii) pra x tendendo a - :

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 - x  

Multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado:

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 - x x 2 + x + x 2 - x x 2 + x + x 2 - x  

= = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x - x 2 + x x 2 + x + x 2 - x  

= lim x → - ∞ ⁡ 2 x x 2 + x + x 2 - x  

Dividindo por x 2 = x em cima e embaixo:

= lim x → - ∞ ⁡ 2 x x x 2 x 2 + x x 2 + x 2 x 2 - x x 2  

Como é x tendendo a MENOS infinito, então x = - x :

= lim x → - ∞ ⁡ 2 x - x x 2 x 2 + x x 2 + x 2 x 2 - x x 2  

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 + 1 x + 1 - 1 x

O que tem x embaixo vai pra zero:

= - 2 1 - 0 + 1 - 0

= - 2

Então uma assíntota y = - 2 quando x → - ∞

Para o gráfico temos, a função em verde e as assíntotas em azul e vermelho:

Resposta

Resposta nos passos

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