2. O número de pessoas infectadas por uma epidemia de dengue é modelado por:

d(t) = 30t / (t^2 - 2t + 4)

(b) A epidemia de dengue passará a longo prazo? Justifique sua resposta

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

A função d t nos resulta no número de pessoas infectadas por dengue por dia t e temos que analisar a função e verificar se essa epidemia será controlada em algum momento.

Como podemos fazer isso? 🤔

Se d t nos dá o número de novos casos, então para que a epidemia seja controlada, temos que ver como d t se comporta quando t por muito grande.

Então se fizermos t tender ao infinito, podemos obter o valor em que d t se estabiliza.

O limite para um tempo infinito de uma função f t é o valor que a função se aproxima à medida que o tempo t se aproxima do infinito. O limite para um tempo infinito é denotado por:

lim t → ∞ ⁡ f t

Se esse limite existe e é finito, dizemos que a função f t converge para esse limite quando t se aproxima do infinito. Caso contrário, dizemos que a função diverge.

Bora lá! 😁

Passo 2

Calculando o limite de d t para t → ∞

lim t → ∞ ⁡ d t

lim t → ∞ ⁡ 30 t t 2 - 2 t + 4

Dividindo tudo por t 2

lim t → ∞ ⁡ 30 t t 2 t 2 t 2 - 2 t t 2 + 4 t 2

lim t → ∞ ⁡ 30 t 1 - 2 t + 4 t 2

Assim se t tende a , os termos 30 t , 2 t e 4 t 2 vão a 0 pois temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande, ou seja

lim t → ∞ ⁡ 30 t 1 - 2 t + 4 t 2 = 0 1 - 0 + 0 = 0

lim t → ∞ ⁡ d t = 0

Assim, como em um tempo longo, o número de novos casos tende a ser 0 , logo, a epidemia estaria controlada.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim t → ∞ ⁡ d t = 0

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