6. Usando o limite fundamental dado pela igualdade lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e calcule os seguintes limites:

a) lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que obter o resultado do limite da função 1 + 1 x 2 x dado o limite fundamental do enunciado.

E aí, como fazemos isso? 🤔

No enunciado, foi feito uma mudança de variável no limite fundamental. Onde tinha x foi substituído por 1 x , assim, como antes x tendia a , agora tende a 0

1 x → ∞ ,     x → 1 ∞ = 0

E o mesmo acontece na função...

O segredo é reescrever a função do problema de modo que apareça a função do limite fundamental.

Sacou? Veja só!

Passo 2

Fazendo a substituição de x para 1 x ...

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x → lim x → 0 ⁡ 1 + 1 1 x 2 1 x → lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 1 x

Como a b c = a b c , então aplicando essa propriedade no problema, temos

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x 2

Em propriedades de limites, vemos que lim ⁡ f x 2 = lim ⁡ f x 2 , ou seja

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x 2

Se lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e de acordo com o limite fundamental, então

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x = e 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x = e 2

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