6. Usando o limite fundamental dado pela igualdade lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e calcule os seguintes limites:

e) lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que obter o resultado do limite da função ln ⁡ 1 + x x dado o limite fundamental do enunciado.

E aí, como fazemos isso? 🤔

No enunciado, foi feito uma mudança de variável no limite fundamental. Onde tinha x foi substituído por 1 x , assim, como antes x tendia a , agora tende a 0

1 x → ∞ ,     x → 1 ∞ = 0

E o mesmo acontece na função...

De modo geral, esse limite fundamental é dado por

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x x = e a

O segredo é, se poss��vel, reescrever a função do problema de modo que apareça a função do limite fundamental.

Sacou? Veja só!

Passo 2

Vamos manipular a função para tentar encontrar 1 + 1 x x

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x x

Se fizermos ln ⁡ e f x não vamos mudar as características da função e podemos obter que se lim ⁡ e f x = e lim ⁡ f x , então

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x x → lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e ln ⁡ 1 + x x → lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e ln ⁡ 1 + x 1 x

Se a b c = a b c , então tirando l n para fora do limite, temos

ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + x 1 x = ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ 1 + x 1 x

Se x tende a , então 1 + x 1 x tende a 1 pois o expoente 1 / x tende a 0 . Então se

lim x → ∞ ⁡ 1 + x 1 x = 1

ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ 1 + x 1 x = ln ⁡ 1 = 0

Ou seja

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 0

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