Seja a curva dada pela interseção do plano com o cilindro , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma única vez no sentido anti-horário e . O valor da integral de linha é:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Cara, a gente tem um campo vetorial bem feio, uma curva no espaço e precisamos calcular uma integral de linha vetorial. Essas são dicas para gente calcular essa integral usando o teorema de Stokes!
Vamos começar calculando o rotacional de para saber se nossa ideia é boa mesmo. Ele tem essa fórmulinha:
Nosso campo é:
Então precisamos calcular:
Nossa o rotacional está bem simples. Outra dica de que vamos de Stokes. Vem comigo!
Passo 2
O Teorema de Stokes diz que:
é a nossa curva . Ela precisa ser a fronteira de uma superfície. A nossa curva é a interseção de um plano com um cilindro. Então a gente pode escolher uma dessas superfícies. A mais fácil de usar é o plano. Então vamos dizer que é o plano que temos:
Dentro do cilindro . E aí a gente pode escrever:
Olha num gráfico como fica:
A nossa curva é aquela interseção ali. Aí a gente reescreve nossa equação assim:
Então a ideia é que a gente só precisa montar e calcular a integral da direita, para então achar o valor da esquerda. Maneiro, né?
Passo 3
Maaas a gente precisa atender a alguns critérios para podermos aplicar esse teorema antes de começar:
1. Nossa fronteira precisa estar orientada positivamente em relação a superfície. Ele diz que nossa curva está sendo percorrida no sentido anti-horário.
Ao percorrer essa curva e olharmos para a esquerda, precisamos estar vendo a superfície que limitamos (o plano dentro do cilindro). E isso acontece na nossa situação. Então tá beleza.
E já que estamos no sentido anti-horário, e temos uma fronteira exterior a superfície, nosso vetor normal a superfície precisa estar orientado para cima (componente ). Tipo nesse caso genérico. Vemos isso pela regra da mão direita.
2. O campo precisa estar bem definido para o domínio de integração. Olha ele:
Não tem nenhum ponto de descontinuidade aí né (nenhum denominador que possa zerar ou algo assim). Então a gente pode confiar que ele está bem definido para o nosso domínio de integração, já que ele está bem definido para todos os valores de .
Então, tá belezinha, a gente pode usar o teorema sem preocupações. Bora lá!
Passo 4
Vamos começar parametrizando o plano dentro do cilindro, porque estamos montando uma integral de superfície.
Como ele pode ser escrita como uma função de e explícita:
A gente pode parametrizar ele assim:
E ele diz que nossa superfície está dentro do cilindro, aí a gente pode escrever que nosso domínio é:
Como esse é o domínio da parametrização, também será o domínio da nossa integral.
Passo 5
Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal. Quando a gente usa essa parametrização aí de cima, o vetor normal é mais tranquilo de achar. Ele tem essa cara:
Aí para o nosso caso:
Repara que a componente do nosso vetor é sempre positiva, então ele está virado para cima como queremos.
Passo 6
Nossa integral ficou assim:
A integral dupla sobre esse círculo de raio vai ser igual a área do círculo! Isso porque o argumento dela é . Como a área do círculo é e :
Prontinho!
Resposta
Letra c