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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Teorema de Stokes

Considere o campo

F → x , y , z = y z , x z , x y

  1. Sem usar o Teorema de Stokes, calcule

    2. ∮ C   F . d r

    Onde C é fronteira da superfície S = x , y , z ∈ R 3 : z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1 , percorrida do sentido anti-horário quando vista de cima.

  2. Use agora o Teorema de Stokes para checar a resposta do item (b).

Passo 1

Letra a)

Antes de tudo, vamos entender quem é C . Temos um cone z = x 2 + y 2 cortado pelos planos z = 0 e z = 1 .

Como em z = 0 o cone se “fecha”, a fronteira de S é a apenas a intersecção entre o cone e o plano z = 1 , uma circuferência de raio 1 .

Agora, vamos parametrizar C , que é dada por:

x 2 + y 2 = 1

z = 1

Usando coordenadas polares com r = 1 :

σ θ = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 1

Como temos uma volta completa no sentido anti-horário, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora, nós derivamos essa parametrização:

σ ' θ = - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0

Passo 2

Podemos, então, aplicar a fórmula da integral de linha:

∫ ∂ S   F . d r = ∫ a b F σ → θ . σ → ' θ d θ

Escrevendo o campo

F → x , y , z = y z , x z , x y

Nas variáveis da parametrização

F σ θ = s e n   θ , cos ⁡ θ , s e n θ cos ⁡ θ

Levando tudo para a integral

∫ C   F . d r = ∫ 0 2 π s e n   θ , cos ⁡ θ , s e n θ cos ⁡ θ . - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0 d θ

= ∫ 0 2 π - s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ d θ =

Usando as relações

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Temos

= 1 2 ∫ 0 2 π - 1 + cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 2 θ d θ =

= ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ d θ =

= - s e n   2 θ 0 2 π = 0

Passo 3

Letra b)

Agora vamos calcular essa integral de linha pelo Teorema de Stokes. Como a curva é uma circunferência pertencente ao plano z = 1 , vamos usar como superfície o próprio disco plano limitado por ela, ok?

x 2 + y 2 ≤ 1

z = 1

Uando coordenadas polares, temos a parametrização

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , 1

Onde 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora, vamos calcular a normal:

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0

∂ φ ∂ θ = - r s e n   θ , r cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ 0 - r s e n   θ r cos ⁡ θ 0 = 0,0 , r

Como a orientação da curva implica, pela Regra da Mão Direita, que a normal ao plano aponte para cima, encontramos o vetor certo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de F

F → x , y , z = y z , x z , x y

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = x - x , y - y , z - z = 0,0 , 0

Passo 5

Agora, podemos aplicar Stokes (sendo D o disco):

∮ C   F → . d r = ∬ D   r o t F → . n → d s = 0

Resposta

0

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