Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 8, Exercício 10

(Capítulo 16.8 – Exercício 10) Use o teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

, C é a curva de intersecção do plano e do cilindro .

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Antes de tudo, bora tentar entender graficamente o que está acontecendo.

nos mostra uma curva que é intersecção entre o plano e o cilindro.

Tem um conceito importante para esse exercício aqui, que é a curva de fronteira. Essa curva mostra, como o nome já diz, a fronteira da superfície que será integrada. Em outras palavras, até onde vai rolar a nossa integração.

Então, a curva de fronteira está no plano .

Encontramos isso isolando de , conforme dado no enunciado.

Assim, .

Precisamos encontrar agora, o vetor normal para essa curva.

Mas espera aí! Vetor normal? O que é issooooo?

Se um vetor em algum ponto da superfície que estamos calculando é perpendicular naquele ponto, ele é chamado de vetor normal a esse ponto em questão.

E o vetor normal a essa superfície vai ser :

Como conhecemos , aplicaremos nas coordenadas do vetor normal.

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano é um círculo de raio . Em coordenadas polares temos e os limites vão ser:

E o elemento de área vai ser:

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de :

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície.

E para nos ajudar, consideramos que o rotacional é uma matriz 3x3 que precisamos encontrar uma espécie de determinante com o método de Laplace para a primeira linha.

E aí temos:

Aplicando Laplace na Primeira Linha:

Precisamos agora calcular o produto escalar entre e , ficando:

Passo 3

Agora é colocar tudo na integral:

Prontinho! Já temos o que o nosso enunciado pediu. Bora resolver mais uma questão?

Resposta

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