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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Calcule ∬ S r o t F . n d S , onde F x ,   y ,   z = ( 2 x y ,   0 ,   - x z ) e S é a superfície do elipsoide

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Passo 1

Como temos uma superfície fechada e limitada, e F ( x , y , z ) tem sua primeira derivada contínua (classe C 1 ), a integral dada por ∬ S r o t F . n d S tem valor nulo!

Difícil de acreditar, não? Então vamos ver a demostração para confirmar nossa afirmativa.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o rotacional do campo F → . Temos que F → = ( 2 x y ,   0 ,   - x z ) e o rotacional pode ser calculado por:

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ ×   F → = ( 0 ,   z ,   - 2 x )

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície! Sua parametrização é semelhante a de uma esfera, para um elipsoide geral da forma:

x 2 a + y 2 b + z 2 c = 1

A parametrização é:

φ θ , ϕ = a c o s θ s e n ϕ ,   b s e n θ s e n ϕ ,   c c o s ϕ

Assim, no nosso caso temos:

φ θ , ϕ = 2 c o s θ s e n ϕ ,   3 s e n θ s e n ϕ ,   4 c o s ϕ

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Passo 4

O próximo passo é encontrar a normal,

N → θ , ϕ = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ ϕ

∂ φ ∂ θ = - 2 s e n θ s e n ϕ ,   3 c o s θ s e n ϕ ,   0

∂ φ ∂ ϕ = 2 c o s θ c o s ϕ ,   3 s e n θ c o s ϕ , - 4 s e n ϕ  

N → θ , ϕ =   i j k - 2 s e n θ s e n ϕ 3 c o s θ s e n ϕ 0 2 c o s θ c o s ϕ 3 s e n θ c o s ϕ - 4 s e n ϕ

N → θ , ϕ = ( - 12 s e n 2 ϕ c o s θ ,   - 8 s e n 2 ϕ s e n θ ,   - 6 s e n ϕ c o s ϕ )

Pra tirar esses sinais de menos, vamos considerar a normal voltada pra fora da elipsoide, com isso

N → θ , ϕ = ( 12 s e n 2 ϕ c o s θ ,   8 s e n 2 ϕ s e n θ ,   6 s e n ϕ c o s ϕ )

Você vai ver que não faz diferença se fizer com o sinal de menos, é só pra ficar mais simples mesmo =D

Passo 5

Por último vamos calcular a integral pedida,

∬ S r o t F . n d S

∫ 0 2 π ∫ 0 π 0,4 c o s ϕ , - 4 s e n ϕ c o s θ . 12 s e n 2 ϕ c o s θ ,   8 s e n 2 ϕ s e n θ ,   6 s e n ϕ c o s ϕ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π ( 32 s e n 2 ϕ c o s ϕ s e n θ - 24 s e n 2 ϕ c o s ϕ c o s θ )   d ϕ d θ

∫ 0 2 π 32 c o s θ s e n 3 ϕ 3 0 π - 24 c o s θ s e n 3 ϕ 3 0 π d θ = 0  

Logo, está demonstrado que a integral tem valor nulo!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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