Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Galerinha, a gente começa relembrando um pouco lá da física, onde trabalho é força vezes o deslocamento. Então, neste caso, podemos escrever o trabalho dessa forma aqui:

Para resolver essa integral vamos utilizar o Teorema de Stokes. Então teremos essa igualdade aqui:

Onde a curva é o bordo da superfície orientada positivamente.

Passo 2

A gente vai começar, esboçando essas superfícies para entender melhor o problema.

O enunciado forneceu a equação de duas superfícies.

A primeira é a equação da esfera, cujo raio é :

Já a segunda equação é um plano:

Esboçando as duas curvas, temos:

A interseção da esfera com o plano é uma elipse. Para achar essa elipse, basta substituir a equação do plano () na equação da esfera:

Dividindo tudo por , para se encaixar na equação geral da elipse:

Beleza?? Essa é a nossa elipse que será a interseção entre o plano e a esfera!

O enunciado também diz que ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima. Deste modo, pela regra da mão direita, podemos ver que o vetor normal à superfície deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.

Passo 3

Agora vamos partir para integral!

Precisamos do rotacional do campo ! O rotacional é dado por:

Como nosso campo é

Temos que,

Calculando, ficamos com

Passo 4

Repara que na nossa integral temos o rotacional é multiplicado pelo vetor normal!

Então, precisamos do vetor normal à superfície .

Observando o esboço da superfície, vemos que a elipse que queremos orientar está contida no plano . Se não ficou claro, é só reparar que o o vetor normal sai do centro e avança para valores de negativos e positivos. Aahh, repara que ele não tem componente em .

Escrevendo na forma vetorial, temos

Ele é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos.

Passo 5

Já temos todos os elementos, vamos para integral! Ela fica assim:

Então, temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como já vimos, nossa superfície é a elipse:

Como a equação geral da elipse é:

Temos, aqui, e .

Então, basta a gente calcular a área dessa elipse, que é dada por :

Dessa forma, podemos substituir em :

Logo, esse é o valor do trabalho pedido na questão! 😊

Resposta

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Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k

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