Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

Ver Teoria

Exercício 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Enunciado

Teorema de Stokes

Seja a curva dada pela intersecção do paraboloide com o cilindro , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido anti-horário. Calcule no seguinte caso:

Passo 1

A primeira coisa que podemos repara é que essa função é definida em , então vamos usar o teorema de Stokes nessa função , além disso a curva é fechada, isso porque a interseção vai ser um círculo em um dado .

Usando o teorema de Stokes vamos ter

Primeiro vamos achar esse rotacional, depois vamos ver como é essa superfície

Passo 2

Vamos achar agora o vetor normal, para isso vamos entender como é a superfície que é a superfície que tem como fronteira a curva .

Vamos ter

Juntando as equações vamos ter

Então a interseção vai ser

Com

O vetor normal orientado no sentido anti-horário vai ser

Passo 3

A integral vai ser

A área de vai ser a área de uma circunferência com raio

A integral vai ser

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S r o tF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16 , y ≥ 0 , orientado em direção do eixo positivo d

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção posi

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y c o s c o szi → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .

Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê