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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 8, Exercício 5

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S .

F → x , y , z = x y z i → + x y j → + x 2 y z k → , S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) , com orientação para fora. (Sugestão: use a equação 3 .)

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

A curva C é um quadrado no plano z = - 1 , assim , pela fórmula 3 temos:

∬ S 1 c u r l   F → ⋅ d S = ∬ S 2 c u r l   F → ⋅ d S

Onde S 1 é o cubo original, sem o fundo e S 2 é apenas o fundo. O legal dessa igualdade é você pode simplificar sua vida escolhendo uma superfície mais fácil de integrar, desde que as duas superfícies sejam limitadas pela mesma curva de fronteira.

Sendo assim, o rotacional de F → é:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y z x y x 2 y z = i → ∂ ∂ y x 2 y z - ∂ ∂ z x y + j → ∂ ∂ z x y z - ∂ ∂ x x 2 y z + k → ∂ ∂ x ( x y ) - ∂ ∂ y ( x y z )

∇ × F → = x 2 z ,   x y - 2 x y z , y - x z

Como z = - 1 : ∇ × F → = - x 2 ,   3 x y , y + x

Passo 2

O vetor normal tem a mesma orientação que k → , no sentido anti-horário visto de cima. Assim o produto escalar entre ∇ × F → e k → fica:

∇ × F → ⋅ k → = - x 2 ,   3 x y , y + x ⋅ 0,0 , 1 = x + y

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Como é um plano em x y , os limites vão ser:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ y ≤ 1

E o elemento de área vai ser: d A = d x d y

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ - 1 + 1 ∫ - 1 + 1 ( x + y ) d x d y = ∫ - 1 + 1 x 2 2 + y x - 1 + 1 d y = ∫ - 1 + 1 1 2 + y   – - 1 2 2 - 1 . y d y

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ - 1 + 1 2 y d y = [ y 2 ]   - 1 + 1 = 1 - 1 = 0

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 0

Questão top hein? Como é bom uma dose de Stoke...

Para essa questão é isso pessoal! Bora resolver mais uma?

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 0

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