Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Teorema de Stokes

Use o teorema de Stokes para calcular a integral

Em que , e é o cilindro , , junto com o seu topo ,

Passo 1

Bem, aqui ele pediu para usar o teorema de Stokes para calcular aquela integral, o teorema de Stokes transforma aquela integral em uma integral de linha ao longo de , mas para poder usar o teorema de Stokes devemos entender a fronteira de primeiro, vamos dar uma olhada como é .

Temos um cilindro

Ele tem base sendo uma circunferência de raio , e vai de até , beleza? Além disso ele completou com a tampa, ou seja o circulo em , então repara que esse cilindro não tem a base, isso nos diz que a fronteira dessa superfície é a circunferência

Com

Então

Passo 2

Agora vamos ver o que o teorema de Stokes faz com aquela integral de superfície

Onde é aquela curva que identificamos no fim do passo 1

Para resolve essa integral de linha devemos parametrizar essa circunferência primeiro, repara que temos

Então vamos fazer

E ele vimos que , além disso, vamos rodar essa circunferência toda, então

Isso nos diz que nossa parametrização vai ser

Com

Passo 3

Vamos agora achar a derivada dessa parametrização

Passo 4

Nossa integral vai ficar

Resposta

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Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k

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