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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Teorema de Stokes

Diga se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa. Justifique.

Seja S 1 = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x ≤ 0 e S 2 = x , y , z ∈ R 3 : y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x = 0 e sejam n 1 e n 2 os vetores normais unitários a S 1 e S 2 , respectivamente. Se n 1 ∙ 1,0 , 0 ∈ R + e n 2 ∙ 1,0 , 0 ∈ R + então, qualquer que seja o campo de vetores F : R 3 → R 3 de classe C ∞ tem-se que

∬ S 1 ∇ × F ∙ n 1 d S = ∬ S 2 ∇ × F ∙ n 2 d S

Passo 1

A primeira coisa que temos que entender são as duas superfícies S 1 e S 2 .

Repara que S 1 é a parte de uma esfera com fronteira em x = 0 , essa fronteira vai ser

0 2 + y 2 + z 2 = 4

y 2 + z 2 = 4

Que é uma circunferência centrada em 0,0 , 0 e raio 2 sobre o plano y z .

A superfície S 2 é uma circunferência em x = 0 , com equação

y 2 + z 2 = 4

Essa equação é igual a equação da fronteira da esfera, então a fronteira de S 2 também é uma circunferência centrada em 0,0 , 0 e raio 4 sobre o plano y z .

Agora vamos entender cada integral daquela ali

Aquilo dentro da integral nada mais é que o rotacional de F ou seja

∬ S 1 ∇ × F ∙ n 1 d S = ∬ S 1 r o t F ∙ n 1 d S

E

∬ S 2 ∇ × F ∙ n 2 d S = ∬ S 2 r o t F ∙ n 2 d S

Passo 2

Temos um rotacional ali, isso é um indicativo para usar o teorema de Stokes.

Pelo teorema de Stokes temos que

∬ S 1 r o t F ∙ n 1 d S = ∫ δ S 1 F ∙ d r

Isso tá certinho porque o vetor normal é orientado para fora da esfera com a parte de x sendo positiva, ele disse isso no enunciado com n 1 ∙ 1,0 , 0 ∈ R +

Além disso

∬ S 2 r o t F ∙ n 2 d S = ∫ δ S 2 F ∙ d r

Isso tá certinho porque o vetor normal é orientado para fora da esfera com a parte de x sendo positiva, ele disse isso no enunciado com n 2 ∙ 1,0 , 0 ∈ R +

Repara que essa integrais de linha dependem das fronteiras de S 1 e S 2 , mas as fronteiras são iguais, isso nos diz que as integrais de linha são iguais. Então temos

∬ S 1 r o t F ∙ n 1 d S = ∫ δ S 1 F ∙ d r = ∫ δ S 2 F ∙ d r = ∬ S 2 r o t F ∙ n 2 d S

Que é o mesmo que

∬ S 1 r o t F ∙ n 1 d S = ∬ S 2 r o t F ∙ n 2 d S

Que é o mesmo que

∬ S 1 ∇ × F ∙ n 1 d S = ∬ S 2 ∇ × F ∙ n 2 d S

Logo a afirmação é verdadeira

Resposta

Verdadeiro

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