Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Teorema de Stokes

Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha , em que

Em que é a curva de intersecção do plano com o cilindro .

Passo 1

Antes de tudo vamos fazer um gráfico da região para entender melhor a questão. Temos o plano cortado pelo cilindro de raio centrado na origem, o que nos dá isso aqui:

Esse desenho não precisa de precisão nenhuma, ok? É só para termos uma ideia mesmo, você pode desenhar um plano qualquer cortando o clilindro.

A questão pede para calcularmos a integral de linha em , que é a interseção do plano inclinado (em vermelho) com o cilindro. Como podemos ver, forma uma elipse. Percebeu?

Passo 2

O Teorema de Stokes nos diz isso aqui:

Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de sobre uma superfície que tenha a curva como fronteira. No caso, vamos escolher esse retalho do plano mesmo, para simplificar as coisas! Ou seja, a própria elipse contida no plano.

Então, é o pedaço do plano que forma uma elipse inclinada e é a própria curva , a fronteira do plano.Temos então:

Precisamos, então, calcular , sabendo que

Temos:

Passo 3

Agora vamos parametrizar a superfície .

Há infinitas superfícies com fronteira igual à curva do enunciado, mas para simplificar o problema, escolhemos o retalho do plano mesmo.

Qual será a melhor maneira para parametrizar o plano? Vamos usar logo e como parâmetros, para ser mais simples:

Onde e pertencem à projeção dessa região no plano , que, no caso, é um círculo. Como assim? Vendo de cima, temos isso aqui:

A elipse inclinada “vira” um círculo, a projeção do cilindro. Então, e tem que estar dentro dessa circunferência azul, de equação

Foi? Isso acontece porque o plano é cortado pelo cilindro. Temos então

Com

Esse é o domínio da parametrização.

Passo 4

Calcular

Como o problema não especifica a orientação da curva ou do vetor normal, vamos utilizar esse que encontramos mesmo.

Passo 5

Aplicar o Teorema

Onde é o círculo , como já vimos lá em cima.

Ok, como temos um círculo, a boa é usar coordenadas polares:

A região passa a ser então e . O que nos dá

Resposta

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