Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 8 – Questão 3

(Cap.16.8 - Exercício 3) Use o teorema de Stokes para calcular .

, S é a parte do parabolóide que está dentro do cilindro , com orientação ascendente.

Passo 1

Oiii galera, tudo bem? Bom gente a integral de superfície pode ser calculada simplesmente com os valores de na fronteira . Isso quer dizer que se tivermos outra superfície orientada com a mesma fronteira , teremos o mesmo valor para a integral de superfície.

Assim, o primeiro passo que devemos fazer nesse tipo de questão é achar a curva fronteira e em seguida fazer a parametrização das equações. Com os valores de e em mãos poderemos solucionar nosso problema.

Passo 2

A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. Como é um círculo:

Vou preferir usar a forma do teorema que diz . Uma parametrização possível é:

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

Passo 3

E o vetor ? Ele é , então temos que calcular :

E o produto escalar entre é:

Com .

Passo 4

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

Resolvemos ambas por substituição simples, então:

Tudo ok? Se não tiver, calma. A prática vai melhorar o entendimento!

Bons Estudos!

Resposta

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