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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral ∬ S   r o t F .   n →   d s numa integral de linha e a calcule, sabendo que F x , y , z = ( 0,0 , y ) , S é parametrizada por φ u , v = ( u , v , u 2 + v 2 ) , com u 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n → a normal apontando para cima.

Passo 1

Antes de tudo vamos fazer um gráfico da região para entender melhor a questão. A parametrização φ u , v = ( u ⏟ x , v ⏟ y , u 2 + v 2 ⏟ z ) nos diz que:

z = x 2 + y 2

Ou seja, um paraboloide, certo? Mas algo tem que limitar essa superfície, senão ela é infinita. Nós temos que

u 2 + v 2 ≤ 1

Ou seja,

x 2 + y 2 ≤ 1

Isso nos diz que o domínio dessa superfície é o círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto, temos isso aqui:

E o Teorema de Stokes nos diz o seguinte:

∬ S   r o t F → . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Ou seja, podemos substituir essa integral do rotacional de F na superfície S por uma integral de linha sobre a fronteira de S . Como podemos ver pela imagem, essa fronteira é uma circunferência de raio 1 .

Passo 2

Certo, agora precisamos calcular essa integral de linha. Como nós já estamos cansados de ver, o primeiro passo agora é achar uma parametrização para essa curva.

Bom, como se trata de uma circunferência de raio 1 , temos que

x 2 + y 2 = 1

Precisamos agora definir a coordenada z dessa curva, ou seja, a altura da circunferência. Como ela faz parte do paraboloide, nada mais justo que substituir sua equação na dele, certo?

z = x 2 + y 2 = 1

z = 1

Pronto, descobrimos a altura dessa curva, agora precisamos parametrizá-la. Como se trata de uma circunferência, a melhor saída aqui é usar coordenadas polares

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Como sabemos que o raio é igual a 1 , podemos substituir r = 1 . Como é dada uma volta completa temos 0 ≤ θ ≤ 2 π . Lembrando que o z é fixo em z = 1 . Isso nos dá:

σ → θ = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   1 )

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora precisamos calcular a derivada dessa parametrização:

σ → ' θ = ( - s e n   θ , cos ⁡ θ ,   0 )

Passo 4

Vamos, então, substituir σ → ' θ na fórmula abaixo e escrever F em função do parâmetro θ

∫ γ   F . d r = ∫ a b F x θ ,   y θ , z ( θ ) . σ → ' θ d θ

Escrevendo a função vetorial

F x , y , z = 0,0 , y

Em termos da parametrização

σ → θ = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   1 )

Temos

F x θ , y θ , z ( θ ) = 0 , 0 , s e n   θ

Substituindo na fórmula, temos

∫ γ   F . d r = ∫ 0 2 π 0 , 0 , s e n   θ . - s e n   θ , cos ⁡ θ ,   0 d θ =

= ∫ 0 2 π 0 d θ = 0

Resposta

0

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