Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

Ver Teoria
Exercício 411234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394042434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 3, P3 - 2021.2, Questão 2.

Considere o campo vetorial F x , y , z = y + x z 2 , x - y z 2 , x 2 + y 2 e seja S a porção do cone de equação x 2 + y 2 - z 2 = 0 entre os planos z = 2 e z = 1 . Calcule ∬ S F → · n → d S .

a) 14 π 3

b) - 14 π 3

c) - 4 π

d) 4 π

e) 5 π

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em obter a integral ∬ S F → · n → d S onde F x , y , z = y + x z 2 , x - y z 2 , x 2 + y 2 e S é dada pelo cone x 2 + y 2 - z 2 = 0 entre z = 2 e z = 1 .

Como podemos calcular essa integral? 🤔

Nesse problema usar o teorema de Gauss vai nos ajudar muito, porém há um problema... a superfície S não é fechada pois o cone é cortado em z = 2 e z = 1 .

Para contornar esse problema, vamos adicionar duas superfícies, uma em z = 2 dada por x 2 + y 2 = 4 e outra em z = 1 dada por x 2 + y 2 = 1 .

Dessa forma, a aplicação do teorema é dada como

∬ S F → · n → d S = ∬ S 1 F → · n → d S + ∬ S 2 F → · n → d S + ∬ S 3 F → · n → d S = ∭ W d i v F → d V

Como S = S 1 , então

∬ S F → · n → d S = ∭ W d i v F → d V - ∬ S 2 F → · n → d S - ∬ S 3 F → · n → d S

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter o divergente de F →

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = ∂ y + x z 2 ∂ x + ∂ x - y z 2 ∂ y + ∂ x 2 + y 2 ∂ z

d i v F → = z 2 - z 2 = 0

O divergente é 0 , então podemos dizer que ∭ W d i v F → d V = 0

Restando apenas as integrais de linha de S 2 e S 3 ...

S 2 é dada pela equação x 2 + y 2 = 4 , ou seja, uma circunferência de raio 2 e como sabemos que essa superfície é a “tampa” do sólido podemos afirmar que o vetor normal a ela é dado por n 2 → = 0,0 , 1 , ou seja

∬ S 2 F → · n → d S = ∬ S 2 y + x z 2 , x - y z 2 , x 2 + y 2   · 0,0 , 1 d S

∬ S 2 F → · n → d S = ∬ S 2 x 2 + y 2 d S

Convertendo as coordenadas do problema para coordenadas polares e aplicando os limites de integração, vamos obter

∬ S 2 F → · n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 r d r d θ

∬ S 2 F → · n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 d r d θ

Integrando com relação a r ...

∫ 0 2 r 2 d r = r 3 3 r = 0 2

∫ 0 2 r 2 d r = 2 3 3 - 0 3 3

∫ 0 2 r 2 d r = 8 3

Integrando o resultado em ralação a θ ...

∫ 0 2 π 8 3 d θ = 8 3 θ θ = 0 2 π

∫ 0 2 π 8 3 d θ = 16 π 3

∬ S 2 F → · n → d S = 16 π 3

Tudo certo? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo cálculo para a superfície em z = 1 .

Porém há uma diferença! Agora a superfície está embaixo do solido, portanto o vetor normal deva apontar para baixo

∬ S 3 F → · n → d S = ∬ S 3 y + x z 2 , x - y z 2 , x 2 + y 2   · 0,0 , - 1 d S

∬ S 3 F → · n → d S = ∬ S 3 - x 2 + y 2 d S

Aplicando as mudanças para coordenadas polares e os limites de integração

∬ S 3 F → · n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r 2 r d r d θ

∬ S 3 F → · n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r 2 d r d θ

Integrando em r ...

∫ 0 1 - r 2 d r = - r 3 3 r = 0 1

∫ 0 1 - r 2 d r = - 1 3

Integrando o resultado em relação a θ ...

∫ 0 2 π - 1 3 d θ = - 1 3 θ θ = 0 2 π

∫ 0 2 π - 1 3 d θ = - 2 π 3

∬ S 3 F → · n → d S = - 2 π 3

Substituindo esses resultados no teorema, vamos obter

∬ S F → · n → d S = 0 - 16 π 3 - - 2 π 3

∬ S F → · n → d S = - 14 π 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

b) - 14 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S r o tF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16 , y ≥ 0 , orientado em direção do eixo positivo d
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção posi
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y c o s c o szi → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê