Use o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força
Onde é a superfície orientável, com fronteira orientada positivamente, definida pela parametrização
Com o triângulo de vértices e .
Passo 1
Esse trabalho é uma integral de linha vetorial. O Teorema de Stokes diz que:
é a nossa superfície e é a fronteira da nossa superfície, assim como o enunciado fala. Então a ideia é que a gente só precisa montar e calcular a integral da direita, para então achar o valor da esquerda. Maneiro, né?
Maaas a gente precisa atender a alguns critérios para podermos aplicar esse teorema antes de começar:
1. Nossa fronteira precisa estar orientada positivamente em relação a superfície. E isso já está acontecendo, o enunciado disse para a gente!
2. O campo precisa estar bem definido para o domínio de integração. Olha ele:
Não tem nenhum ponto de descontinuidade aí né (nenhum denominador que possa zerar ou algo assim). Então a gente pode confiar que ele está bem definido para o nosso domínio de integração, já que ele está bem definido para todos os valores de .
Então, tá belezinha, a gente pode usar o teorema sem preocupações. Bora lá!
Passo 2
Vamos montar nossa integral de superfície lindona:
Começando por . Esse cara é o rotacional do nosso campo. Ele tem essa fórmulinha:
Nosso campo é:
Então precisamos calcular:
Nossa integral fica:
Passo 3
Agora a gente precisa calcular que são os vetores normais a superfície que a orientam positivamente. A gente o acha pela parametrização da superfície que ele deu:
Mas a gente precisa verificar se ele tá na orientação certa. Como assim? Para usar esse teorema, nossa superfície precisa estar orientada positivamente em relação a fronteira
A gente tem o nosso vetor com a coordenada positiva. Então ele está sempre virado para cima. Aí pensa comigo, se o vetor está para cima, pela regra da mão direita, nossa curva precisa estar sendo percorrida no sentido anti-horário. Olha só:
Nessa imagem a gente tem uma superfície genérica orientada positivamente. Aí repara: vetor para cima e sentido anti-horário.
Então nosso vetor tá certinho, considerando que nossa curva está no sentido anti-horário. Vamos colocar ele na integral
Passo 4
Vamos definir nossos extremos de integração. Eles vão descrever o domínio em que nossa superfície está parametrizada, ou seja o triângulo de vértices e em . Vamos desenhar esse bonito:
Agora vamos limitar as variáveis e , para achar nossos extremos de integração. No eixo , vemos que ele está entre:
Já no eixo , ele é limitado por baixo por e por cima pela reta que passa por e . Achando a equação dessa reta pela fórmulinha (cê pode fazer do jeito que achar melhor, tá?)
Sendo
E escolhendo
Aí dizemos que:
Passo 5
Agora é montar a integral.
Mas repara que nosso domínio de integração está em , então a gente não pode integrar com aquele ali. O que a gente faz então? Bora lembrar da nossa parametrização:
Repara na componente dela:
Bora substituir isso na integral:
Passo 6
Bora calcular essa belezura:
E finalmente a gente pode dizer que: