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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 8, Exercício 6

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S ∇ → × F → ⋅ d S → .

F → x , y , z = e x y   i + e x z   j + x 2 z   k

S é a metade do elipsoide 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 que se situa à direita do plano x z orientado na direção do eixo positivo y .

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

O objetivo dessa questão é utilizar o Teorema de Stokes para resolver a integral dupla dada no enunciado. Tá, mas para que serve o Teorema de Stokes?

Essa integral dupla é, na verdade, uma integral de superfície através de um campo vetorial. Integrais de superfície são usadas sempre que se tem a sensação de querer somar um monte de valores associados a pontos em uma superfície e o campo vetorial nos diz que esses pontos que serão somados são, na verdade, vetores.

Stokes, então, criou um teorema que generaliza essa necessidade de somar valores associados a vetores para entender o movimento de fluídos, por exemplo.

Para começar, precisamos calcular o rotacional do campo F → .

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície.

E para nos ajudar, consideramos que o rotacional é uma matriz 3x3 que precisamos encontrar uma espécie de determinante com o método de Laplace para a primeira linha.

E aí temos:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e x y e x z x 2 z

Aplicando Laplace na primeira linha:

= i → ∂ ∂ y ( x 2 z ) - ∂ ∂ z ( e x z ) + j → ∂ ∂ z ( e x y ) - ∂ ∂ x ( x 2 z ) + k → ∂ ∂ x ( e x z ) - ∂ ∂ y e x y

Todos esses valores nos parênteses menores serão derivados pelas variáveis dos denominadores correspondentes.

Aplicando para todos os elementos teremos:

∇ × F → = - x e x z ; - 2 x z ; z e x z - x e x y

Guarde esse cara, ele será utilizado mais adiante.

Passo 2

Outra informação importante que encontramos no enunciado é que o vetor normal tem a orientação do eixo y positivo, então esse vetor é:

n → = 0,1 , 0

Mas espera aí! Vetor normal? O que é issooooo?

Se um vetor em algum ponto da superfície que estamos calculando é perpendicular naquele ponto, ele é chamado de vetor normal naquele ponto.

Como no nosso caso o vetor é orientado pelo eixo y positivo, ele é perpendicular ao plano x z (por isso os componentes x e z são 0 e o componente y vale 1 )

Feito!

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar entre os vetores dos passos 1 e 2 :

- x e x z ; - 2 x z ; z e x z - x e x y ⋅ 0,1 , 0 = - 2 x z

E quanto a região de integração? No plano y = 0 temos:

4 x 2 + 4 z 2 = 4

x 2 + z 2 = 1

Um círculo de raio 1 , então em coordenadas polares x = r c o s θ ; z = r s e n θ :

d A = r d r d θ

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π  

Show! Já temos nosso integrando e os limites de integração!

Passo 4

Agora é só jogar tudo isso na integral dupla!

∬ S ∇ → × F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - 2 r c o s θ r s e n θ . r d r d θ

- 2 ∫ 0 2 π c o s θ   s e n θ   d θ ∫ 0 1 r 3 d r = - 2 1 2 s e n 2 θ 0 2 π . r 4 4 0 1 = - 2 0 2 - 0 2 . 1 4 - 0 = 0

Beleza?

Tudo isso pra dar zerooooo!

Bom, pra essa questão é isso, pessoal! Bora resolver mais uma?

Resposta

0

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