Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Seja uma curva fechada simples suave inteiramente contida no plano . Mostre que a integral de linha

depende unicamente da área da região delimitada por (e não da forma de ou de sua posição no plano).

Passo 1

Nessa questão, pra a gente se salvar, entra nosso amigo Stokes. O teorema nos diz que se uma superfície R é orientada positivamente, o campo vetorial é definido em todo o domínio de integração e a fronteira C também for orientada positivamente, podemos afirmar que:

Passo 2

Então vamos começar achando nosso rotacional

Para o vetor, como a superfície contida no plano , a região R possui norma unitária constante, por exemplo, igual a

Passo 3

Agora juntando o que a gente tem

Essa integral dupla não é nada mais do que a área de R

O que mostra que a integral de linha depente unicamente da Área da região .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção posi

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y c o s c o szi → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .

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