Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 8, Exercício 14
(Capítulo 16.8 – Exercício 10) Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado e a superfície .
, é a parte do paraboloide que está acima do do plano , com orientação ascendente.
Passo 1
Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?
O problema pede para verificarmos o Teorema de Stokes para o campo e a superfície .
Quando jogamos esse cara em uma calculadora gráfica qualquer, obtemos o seguinte resultado:
Uma das coisas observadas por Stokes era que, quando uma superfície era regular em termos de complexidade e suave em relação à alteração das formas, melhor seu teorema trabalha. Isso se deve ao fato da generalização observar e considerar o comportamento da curva para que funcione certinho.
No nosso exercício, a superfície é suave e regular e é um campo bem comportado, de modo que o teorema é valido!
Assim, podemos afirmar que:
O que temos que fazer agora é calcular as duas integrais e ver que elas são iguais!
Passo 2
Vamos calcular primeiro a integral de linha sobre a curva :
Portanto, teremos a seguinte relação para os valores de
Assim, derivando esses valores vamos ter que:
Logo:
A integral do segundo termo será nula pois é uma função trigonométrica periódica integrada em um período completo. Já a primeira:
Passo 3
Agora vamos fazer a integral de superfície, aplicando o Teorema de Stokes. O primeiro passo é parametrizar a superfície:
Podemos considerar para os intervalos de :
Desta forma, aplicaremos para cada elemento a derivada da coordenada pelo correspondente:
Logo:
Desenvolveremos agora o módulo de :
Em uma aplicação no vetor normal:
FAREMOS UMA PAUSA!
Tem um detalhe muito importanto na etapa anterior. Um sinal negativo aparece e ele não está aí por acaso. O sinal foi colocado para seguir a orientação pedida no enunciado (orientação ascendente)!
Seguindo:
E para finalizar :
Passo 4
Agora vamos achar o rotacional de :
Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície.
E para nos ajudar, consideramos que o rotacional é uma matriz 3x3 que precisamos encontrar uma espécie de determinante com o método de Laplace para a primeira linha.
E aí temos:
Logo:
Fazendo a integral em , o termo do meio se anula:
Mas sabemos que:
Logo:
E para finalizar, até que enfim:
Note que obtivemos o mesmo resultado pelas duas integrais, o que confirma o Teorema de Strokes!
Esse exercício foi difícil hein?
Mas conseguimos! Uhul!
Pra essa questão é isso então, pessoal! Bora resolver mais uma?
Resposta
Resolução nos passos acima.