Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Calcule o fluxo do rotacional do campo através da superfície , com a normal apontando para cima.

Passo 1

“O fluxo do rotacional do campo ”, é muita palavra difícil junta né?

Quando o enunciado pede pra calcularmos um fluxo já sabemos que ele quer a integral de superfície. Nesse caso aqui ao invés de , vamos calcular a integral do rotacional de , ou seja:

É isso! A próxima dificuldade da questão é essa superfície doida aí

Ou seja, só queremos o interior do círculo de raio no plano . Mas como esboçamos isso?

Vamos pensar nos limites superiores disso:

Que é algum valor de negativo, não precisa saber exatamente qual.

E quando :

(Todo número elevado a zero é 1.)

Então quando , temos uma circunferência de raio . Essa é exatamente a nossa fronteira de !

Fizemos essa analise porque na hora da prova a gente não tem um computador pra esboçar a superfície, na verdade ela é essa aqui

Bom, agora que sabemos qual é a superfície, parece impossível resolver a integral pela definição, não é?

Vamos usar o teorema de Stokes aqui! Ele diz que

Onde

Nesse caso é justamente a circunferência de raio no plano .

Passo 2

Então só precisamos dessa integral de linha aqui

Vamos começar parametrizando a curva, ela está no plano , portanto

Com isso

Passo 3

Pra calcular a integral de linha, ainda precisamos da derivada da parametrização

E também precisamos substituir os parâmetros da curva no campo

Onde

Passo 4

Juntando tudo na integral

Integrando isso aí

Resposta

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