Seja a curva γ a curva dada pela interseção do paraboloide

y = 2 - x 2 + z 2

com o semi-cone

y = x 2 + z 2

orientada no sentido horário quando observada desde a origem das coordenadas. Calcular

J = ∫ γ z e x   d x + y 2 + 1 3   d y + e x - x + cos ⁡ z 2   d z

Passo 1

Então, isso aqui é uma integral de linha de um campo vetorial, dado pela função

F → = z e x ,   y 2 + 1 3 ,   e x - x + cos ⁡ z 2

Então vamos logo de cara calcular o rotacional de F → .

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z e x y 2 + 1 3 e x - x + cos ⁡ z 2

r o t F → = ( 0 ,   1 ,   0 )

Bom, o rotacional não é nulo, isso aqui tá cheirando a Teorema de Stokes. Mas o teorema é válido somente para curvas fechadas, então vamos dar uma olhada nessa curva.

Passo 2

Beleza, vamos tentar entender como é a curva γ .

O paraboloide y = 2 - x 2 + z 2 é centrado no eixo y e tem mais ou menos essa cara aqui.

O cone y = x 2 + z 2 também é centrado no eixo y e tem mais ou menos essa cara aqui.

A interseção dos dois é uma curva fechada, alguma coisa com essa cara.

Beleza, então se trata mesmo de uma curva fechada, isso significa que vamos poder aplicar o Teorema de Stokes! :D

Passo 3

O Teorema de Stokes é dado por

∮ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Onde S vai ser a área da curva.

Já calculamos o r o t F → antes, agora precisamos ter uma ideia do vetor normal n → .

O problema falou pra gente que a curva γ é orientada no sentido horário quando observada desde a origem das coordenadas. Então se estivermos olhando a curva da origem das coordenadas, ela vai ter essa orientação.

Concorda?

Com essa orientação, o vetor unitário normal a essa superfície com sentido dado pela regra da mão direita seria:

n → = 0,1 , 0

Passo 4

Voltando para o Teorema de Stokes.

∮ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

= ∬ S 0 ,   1 ,   0 . 0,1 , 0   d s = ∬ S d s = Á r e a ( S )

Beleza, mas qual a área de S ?

Como tanto o paraboloide quanto o cone estão centrados no eixo y , podemos usar coordenadas cilíndricas, que nesse caso seriam

x = r cos ⁡ θ

y = y

z = r sen ⁡ θ

ϕ r , θ = ( r cos ⁡ θ , y , r sen ⁡ θ )

Substituindo nas equações do paraboloide e do cone, acharemos

y = 2 - r 2

para o paraboloide e

y = r

para o cone.

Calculando a interseção entre as duas superfícies, encontraremos:

y = 2 - r 2 = r

r 2 + r - 2 = 0

r = 1 - 2  

Como r não pode ser negativo, r = 1 .

Isso quer dizer que S corresponde a um círculo de raio r = 1 no plano y = 1 .

Passo 5

∮ γ   F → . d r = Á r e a ( S )

= π r 2 = π

Resposta

J = π

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