Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular

, onde é o triangulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) orientado no sentido anti-horário quando vista de cima e

Passo 1

Stokes nos diz que:

Onde:

Passo 2

Bom, agora o ideal é a gente encontrar o vetor normal a esse triangulo. Presta atenção nesse passo: Se a gente tem 3 pontos, podemos descobrir dois vetores e com isso calcular o vetor ortogonal ao mesmo tempo aos dois vetores.

Fazendo o vetor

Agora o vetor

Fazendo então o produto vetorial entre eles, descobrindo assim o vetor ortogonal a eles, que também é normal ao plano que estamos procurando.

Passo 3

Agora que nós temos o vetor normal ao plao e pontos contidos nele, a gente consegue descobrir a equação do plano.

Isolando z:

Parametrizando esse plano ficamos com:

Passo 4

Vamos então agora substituir nossa parametrização no pra poder resolver a integral e garantir esse pontinho dessa questão.

Colocando tudo na integral

Isso não é nada mais que a área!

Resposta

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