Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Considere o campo de vetores Use o Teorema de Stokes para calcular

onde C é a fronteira da parte do paraboloide que está no primeiuro octante e orientada no sentido anti-horário quando o bordo é visto de cima.

Passo 1

Vamos lá, antes de mais nada, para podermos ver a possibilidade de aplicarmos o teorema de stoeks, temos que conferir as condições. A primeira dela é termos uma curva fechada. Nesse caso, a curva é a fronteira desse paraboloide no primeiro octante. Então até ai tudo certo.

O campo não pode ter nenhuma singularidade:

Está tudo bem com esse campo.

Por último, mas não menos importante, vamos ter que tomar cuidado com a orientação, pra mantê-la positiva.

Bom, com isso podemos então aplicar o teorema.

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional:

Passo 3

Vamos agora para nossa parametrização:

A superfície é:

Logo, com uma parametrização explícita ficamos com:

Nosso vetor normal então fica:

Para isso vamos fazer:

Podemos com isso então partir para matriz:

Passo 4

Montando agora então nossa integral:

Resposta

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