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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Teorema de Stokes

Seja F = ( y , x 2 z , x y ) um campo de vetores e C a circunferência contida no plano y = 1 com centro em ( 0,1 , 2 ) e de raio 1 .

  1. Parametrize a curva C .
  2. Calcule o rotacional de F .
  3. Calcule a integral de linha ∫ C   F . d r .

Passo 1

Letra a)

Bom, como a circunferência está contida no plano y = 1 , paralelo ao x z , sabemos que a sua equação vai ter as variáveis x e z .

Ok, pensando no plano x z , nós temos uma circunferência de raio r = 1 e centro x , z = ( 0,2 ) . Certo?

Então, sua equação vai ser dada por

x 2 + z - 2 2 = 1

y = 1

Foi?

Passo 2

Agora, vamos parametrizar isso aí com coordenadas polares deslocadas com r = 1 :

x = cos ⁡ θ

z = s e n   θ + 2

Lembrando que y = 1 . Isso nos dá

σ θ = cos ⁡ θ , 1 , s e n   θ + 2

Como se trata da volta completa 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Letra b)

Agora vamos calcular o rotacional desse campo.Temos:

F = ( y , x 2 z , x y )

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = x - x 2 , 0 - y , 2 x z - 1 = x - x 2 , - y , 2 x z - 1

Passo 4

Letra c)

Bom, parece que vai dar um pouquinho de trabalho calcular a integral de linha pela definição, porque a parametrização da curva é meio chatinha.

Nós podemos tentar usar Stokes. Pensa bem, se a gente usar o disco formado pela circunferência do plano y = 1 , sua normal só vai ter a componente y , as outras serão nulas. Isso pode simplificar muito as coisas. Beleza, vamos usar Stokes:

∮ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de F sobre uma superfície S que tenha a curva como fronteira. No caso, vamos escolher o disco plano, para simplificar as coisas!

Passo 5

Bom, se vamos calcular uma integral de superfície em S (o disco), precisamos parametrizar S . Cuidado, estamos parametrizando agora uma superfície! Antes parametrizamos a curva C , é parecido, tome cuidado. O disco é dado por:

x 2 + ( z - 2 ) 2 ≤ 1

y = 1

A diferença é esse sinal ≤ .

Vamos usar coordenadas polares deslocadas:

φ r , θ = r cos ⁡ θ , 1 , r   s e n   θ + 2

Repare que, como temos uma superfície, são dois parâmetros, diferente da curva!

O raio r varia de 0 a 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 6

Agora vamos calcular a normal a S :

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , 0 , s e n   θ

∂ φ ∂ θ = - r   s e n   θ , 0 , r cos ⁡ θ

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ 0 s e n   θ - r   s e n   θ 0 r cos ⁡ θ = ( 0 , - r , 0 )

Passo 7

Agora vamos aplicar o Teorema

∫ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ D   r o t F → φ . ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ d r d θ

Escrevendo o rotacional nos termos da parametrização, temos:

r o t F → φ = r cos ⁡ θ - r 2 cos 2 ⁡ θ , - 1 , 2 ( r cos ⁡ θ ) ( r   s e n   θ + 2 ) - 1

Levando para a integral

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r cos ⁡ θ - r 2 cos 2 ⁡ θ , - 1,2 r cos ⁡ θ r   s e n   θ + 2 - 1 . ( 0 , - r , 0 ) d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π d θ =

= π

Resposta

  1. σ θ = cos ⁡ θ , 1 , s e n   θ + 2
  2. r o t F → = x - x 2 , - y , 2 x z - 1
  3. π

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