Determine se a série converge ou diverge.

l) ∑ n = 1 ∞ 5 n 4 n + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge. O termo geral da nossa série é dado por:

a n = 5 n 4 n + 1

E sempre que a gente tiver um fatorial ou um expoente desse tipo, a gente pode pensar em utilizar o teste da razão. Isso porque o teste da razão nos diz que se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

s e   0 ≤ L < 1     e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   L > 1   o u lim n → ∞ ⁡ a n + 1 / a n = ∞   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1 ,       e n t ã o   n ã o   s e   p o d e   f a l a r   n a d a

Então, vamos calcular nosso limite e verificar a convergência ou divergência dessa série de acordo com as condições do teste.

Vamos lá!

Passo 2

Já sabemos que a n = 5 n 4 n + 1 , então a n + 1 será:

a n + 1 = 5 n + 1 4 n + 1 + 1

Assim, calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 5 n + 1 4 n + 1 + 1 5 n 4 n + 1

= lim n → ∞ ⁡ 5 n + 1 4 n + 1 + 1 ∙ 4 n + 1 5 n

Simplificando, temos:

lim n → ∞ ⁡ 5 n ∙ 5 4 n + 1 + 1 ∙ 4 n + 1 5 n

= lim n → ∞ ⁡ 5 ( 4 n + 1 ) 4 n + 1 + 1 = 5 lim n → ∞ ⁡ 4 n + 1 4 n + 1 + 1

Dividindo todo mundo por 4 n + 1 :

5 lim n → ∞ ⁡ 4 n 4 n + 1 + 1 4 n + 1 4 n + 1 4 n + 1 + 1 4 n + 1 = 5 lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 1 4 n + 1 1 + 1 4 n + 1

Dessa forma, quando n → ∞ , vamos ter:

= 5 1 4 + 0 1 + 0 = 5 1 4 = 5 4

Portanto, lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 5 4 > 1 e podemos dizer que nossa série diverge, pelo teste da razão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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