9 - Determine se a série converge ou diverge.

m) ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste da comparação.

Esse teste consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Dessa forma, se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge, mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, sabemos que ln ⁡ n < n para n ≥ 2 . Multiplicando os dois lados por n , temos

ln ⁡ n < n

n ln ⁡ n < n n

n ln ⁡ n < n

Invertendo os lados...

1 n ln ⁡ n > 1 n

Portanto vamos analisar se b n = 1 n converge...

Para saber se b n converge, podemos fazer uma assimilação com as P-Séries.

as P-Séries são dadas por

b n = 1 n p

E podemos determinar sua convergência apenas analisando o valor de p ...

Se p > 1 , a série converge, mas se p ≤ 1 a série diverge!

Nesse caso, temos que p = 1 portanto b n converge...

Como b n diverge e b n < a n , então certamente a n também diverge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Diverge pelo teste da comparação.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
Determine se a série converge ou diverge.5. ∑ n = 1 ∞ n + 1 n n
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)((3 n^4 + 1)))