UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 9n
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?
Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Comparação. E como ele funciona? Basicamente vamos ter:
Para fazer o Teste da Comparação, precisamos ter uma série muito parecida, porém mais simples que nos ajude a resolver o nosso exercício. Aqui, vamos ter
E agora vamos ter que fazer o seguinte:
Passo 2
Show galera, vamos calcular. Antes da gente querer comparar quem é maior que quem, temos que saber como que se comporta. Então vamos lá:
Reparem que temos uma p-série:
A gente pode fazer o seguinte “ajuste”:
Ou seja, temos uma função potência que está elevada a 1. Se compararmos com a fórmula genérica, temos:
Aonde
Olhando para a nossa série, vamos ter:
Então:
Show, já sabemos que a nossa diverge. Então vamos ter que provar a seguinte comparação:
Passo 3
Show, vamos provar a nossa relação estabelecida no Passo 2:
Olha que interessante. Nós estamos comparando frações, certo? Então para uma fração ser maior que a outra depende de 2 fatores: Ou o numerador de uma é maior que o da outra ou o denominador dessa é menor que o da outra.
Reparem que na nossa função, o numerador é igual, então temos que comparar o denominador. Então temos que provar:
Sabemos que zero é sempre menor que 1, então conseguimos provar a nossa relação. Logo: