Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Comparação. E como ele funciona? Basicamente vamos ter:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1

a n = 1 2 n - 1

Para fazer o Teste da Comparação, precisamos ter uma série muito parecida, porém mais simples que nos ajude a resolver o nosso exercício. Aqui, vamos ter

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

b n = 1 2 n

E agora vamos ter que fazer o seguinte:

s e   a n ≤ b n   c o n v e r g e ,   e n t ã o   a n   t a m b é m   c o n v e r g e s e   a n ≥ b n   d i v e r g e ,   e n t ã o   a n   t a m b é m   d i v e r g e

Passo 2

Show galera, vamos calcular. Antes da gente querer comparar quem é maior que quem, temos que saber como que b n   se comporta. Então vamos lá:

∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n

Reparem que temos uma p-série:

1 2 n

A gente pode fazer o seguinte “ajuste”:

1 2 × 1 n ¹

Ou seja, temos uma função potência que está elevada a 1. Se compararmos com a fórmula genérica, temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Aonde

p > 1 → c o n v e r g e

p ≤ 1 → d i v e r g e

Olhando para a nossa série, vamos ter:

p = 1

Então:

b n → d i v e r g e

Show, já sabemos que a nossa b n diverge. Então vamos ter que provar a seguinte comparação:

a n ≥ b n

1 2 n - 1 ≥ 1 2 n

Passo 3

Show, vamos provar a nossa relação estabelecida no Passo 2:

1 2 n - 1 ≥ 1 2 n

Olha que interessante. Nós estamos comparando frações, certo? Então para uma fração ser maior que a outra depende de 2 fatores: Ou o numerador de uma é maior que o da outra ou o denominador dessa é menor que o da outra.

Reparem que na nossa função, o numerador é igual, então temos que comparar o denominador. Então temos que provar:

2 n - 1 ≤ 2 n

2 n - 2 n ≤ 1

0 ≤ 1

Sabemos que zero é sempre menor que 1, então conseguimos provar a nossa relação. Logo:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 → d i v e r g e

Resposta

D i v e r g e

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