Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Razão. E como ele funciona? Basicamente vamos ter que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde, para nossa série:

∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1

a n = 2 n n + 1

E agora vamos ter que fazer o seguinte:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e   s e   L > 1   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   a f i r m a r   n a d a

Passo 2

Show galera, vamos calcular. Antes vamos determinar cada fator do nosso limite:

∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1

a n = 2 n n + 1

a n + 1 = 2 n + 1 ( n + 1 ) + 1

Jogando no nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 + 1 2 n n + 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ( n + 2 ) × n + 1 2 n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n × 2 ( n + 2 ) × n + 1 2 n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 × n + 1 n + 2

Aqui teríamos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , então vamos aplicar L’Hospital, derivando o numerador e o denominador:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 × 1 1 = 2

Achamos que o limite é igual a 2 , pela definição que estabelecemos no Passo 1:

s e   L > 1   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e

Então:

∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1 → d i v e r g e

Resposta

D i v e r g e

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