Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Divergência. E como ele funciona? Basicamente vamos ter que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n

∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n

a n = n ln ⁡ n

E o que podemos definir com isso?

s e   lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e

Passo 2

Show galera, vamos calcular. Vamos calcular o nosso limite:

∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n

a n = n ln ⁡ n

Jogando no nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n

Aplicando L-Hospital:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ n 2 = 1 2 lim n → ∞ ⁡ n = ∞

Logo o limite deu diferente de zero, então:

∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n → d i v e r g e

Resposta

D i v e r g e

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