UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 10m.
Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
Falaii galerinha, ceis tão bonzinho?
Para determinar se a série
converge ou diverge, podemos decompor a série em duas partes e verificar a convergência de cada parte separadamente.
A série pode ser reescrita como a diferença de duas séries:
Para determinar se a série converge ou diverge, aplicamos a propriedade da linearidade das séries. Isso significa que podemos separar a série em duas partes e analisar cada parte separadamente:
Vamos analisar cada série separadamente.
Passo 2
- A primeira parte é que é a Série Harmônica.
A Série Harmônica é um exemplo clássico de uma série que diverge.
Ela é divergente porque os seus termos diminuem em magnitude à medida que n aumenta, mas não o suficiente para que a soma seja finita.
Matematicamente, isso é expresso como:
A série continua indefinidamente, e a soma dos termos nunca atinge um valor finito.
Portanto, a Série Harmônica é conhecida por divergir.
Passo 3
2. A segunda parte é que é conhecida como a Série P.
A Série P é um exemplo de uma série que converge. Ela converge para um valor específico, que é
A diferença entre a Série P e a Série Harmônica é que os termos da Série P diminuem mais rapidamente à medida que n aumenta, o que leva a uma soma finita.
Passo 4
Agora, quando subtraímos uma série divergente de uma série convergente (Série Harmônica - Série P), obtemos uma série que também diverge.
Isso ocorre porque a divergência da Série Harmônica domina a convergência da Série P, e a soma resultante não é finita.
Portanto, com base na propriedade da linearidade das séries e no conhecimento da natureza das Séries Harmônicas e Séries P, concluímos que a série original também diverge.
Resposta
Portanto, a série diverge.