Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n 2

Passo 1

Falaii galerinha, ceis tão bonzinho?

Para determinar se a série ∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n 2

converge ou diverge, podemos decompor a série em duas partes e verificar a convergência de cada parte separadamente.

A série pode ser reescrita como a diferença de duas séries:

∑ 1 n - 1 n 2 =   ∑ 1 n -   ∑ 1 n 2

Para determinar se a série ∑ 1 n – 1 n 2 converge ou diverge, aplicamos a propriedade da linearidade das séries. Isso significa que podemos separar a série em duas partes e analisar cada parte separadamente:

Vamos analisar cada série separadamente.

Passo 2

  1. A primeira parte é ∑ 1 n , que é a Série Harmônica.

A Série Harmônica é um exemplo clássico de uma série que diverge.

Ela é divergente porque os seus termos diminuem em magnitude à medida que n aumenta, mas não o suficiente para que a soma seja finita.

Matematicamente, isso é expresso como:

      ∑ 1 n = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +   …

A série continua indefinidamente, e a soma dos termos nunca atinge um valor finito.

Portanto, a Série Harmônica é conhecida por divergir.

Passo 3

2. A segunda parte é ∑ 1 n 2 , que é conhecida como a Série P.

A Série P é um exemplo de uma série que converge. Ela converge para um valor específico, que é π ^ 2 / 6 .

      ∑ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 +   …

A diferença entre a Série P e a Série Harmônica é que os termos da Série P diminuem mais rapidamente à medida que n aumenta, o que leva a uma soma finita.

Passo 4

Agora, quando subtraímos uma série divergente de uma série convergente (Série Harmônica - Série P), obtemos uma série que também diverge.

Isso ocorre porque a divergência da Série Harmônica domina a convergência da Série P, e a soma resultante não é finita.

Portanto, com base na propriedade da linearidade das séries e no conhecimento da natureza das Séries Harmônicas e Séries P, concluímos que a série original ∑ 1 n – 1 n 2 também diverge.

Resposta

Portanto, a série ∑ 1 n – 1 n 2 diverge.

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