Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Passo 1

Para determinar se a série infinita ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

converge ou diverge, podemos usar o teste da integral.

Vamos aplicar o teste da integral à série:

∫ 1 ∞ l n x x   d x

Agora, tentaremos resolver esta integral indefinida:

∫ l n x x   d x

Para fazer isso, usaremos integração por partes.

A fórmula de integração por partes é:

∫ u   d v   =   u v   -   ∫ v   d u

Onde:

u   =   l n ( x )

d v   =   ( 1 / x )   d x

d u   =   ( 1 / x )   d x

v   =   l n ( x )

Aplicando a fórmula:

∫ ln ⁡ x x d x   = ln ⁡ x * ln ⁡ x -   ∫ ln ⁡ x *   1 x d x

Passo 2

Agora, simplificamos a integral do lado direito:

∫ ln ⁡ x x   d x   =   l n 2 x -   ∫ ln ⁡ x x   d x

Agora, somamos ∫ ( l n ( x ) / x ) dx em ambos os lados:

2 ∫ l n x x d x   =   l n 2 x

Agora, isolamos a integral:

∫ l n x x   d x   =   1 2 l n 2 x

Agora, podemos calcular a integral definida:

∫ 1 ∞ l n x x   d x   = lim b → ∞ ⁡   1 2 l n 2 b   -   1 2 l n 2 ( 1 )

Passo 3

Lembre-se de que l n ( 1 )   =   0 , então o segundo termo desaparece:

lim ( b →  ∞ ) ⁡ 1 2 l n 2 b   -   1 2 l n 2 1   =   1 2 l i m ( b →   ∞ )   l n 2 b   -   0

Agora, observe o limite restante:

l i m ( b →   ∞ ) ln 2 ⁡ ( b )

À medida que b se aproxima do infinito, l n ( b ) também cresce infinitamente, então l n 2 ( b ) também cresce infinitamente.

Portanto, o limite acima é infinito.

Isso significa que a integral definida ∫ 1 ∞ l n x x   d x   é infinita, o que indica que a série original ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

também diverge.

Em resumo, a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

diverge.

Resposta

Em resumo, a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

diverge.

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