Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Para determinar se a série infinita ∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n 2 n

converge ou diverge, podemos usar o teste da razão.

Vamos calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:

Limite quando n tende ao infinito de

n + 1 l n n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n   l n n

Aqui, podemos simplificar os termos:

Limite quando n tende ao infinito de

n + 1 l n n + 1 2 n   l n n

Agora, podemos aplicar a regra de L'Hôpital para calcular esse limite, pois temos a forma " ∞ / ∞ " :

Limite quando n tende ao infinito de

d d n n + 1 ln ⁡ n + 1 d d n 2 n ln ⁡ n

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:

d d n n + 1 l n n + 1 =   l n ( n + 1 )   +   ( n + 1 )   *   1 n + 1   =   l n ( n + 1 )   +   1

d d n 2 n   l n n   =   2   l n ( n )   +   2

Agora, podemos calcular o limite:

Limite quando n tende ao infinito de

l n n + 1 +   1 2   l n n +   2

Temos novamente ∞ / ∞ . Vamos aplicar L’Hospital de novo

Passo 3

Derivando o numerador e o denominador, temos

1 n + 1 2 n = n 2 n + 2

Temos novamente ∞ / ��� . Aplicando L’Hospital mais uma vez, temos:

1 2

Agora, usando o teste da razão, se o limite for menor que 1, a série converge.

Neste caso, o limite é 1/2, que é menor que 1.

Portanto, podemos concluir que a série infinita

∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n 2 n

converge.

Resposta

Converge

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