UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 10p.
Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
Para determinar se a série infinita
converge ou diverge, podemos usar o teste da razão.
Vamos calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:
Limite quando n tende ao infinito de
Aqui, podemos simplificar os termos:
Limite quando n tende ao infinito de
Agora, podemos aplicar a regra de L'Hôpital para calcular esse limite, pois temos a forma
Limite quando n tende ao infinito de
Passo 2
Vamos calcular as derivadas:
Agora, podemos calcular o limite:
Limite quando n tende ao infinito de
Temos novamente . Vamos aplicar L’Hospital de novo
Passo 3
Derivando o numerador e o denominador, temos
Temos novamente . Aplicando L’Hospital mais uma vez, temos:
Agora, usando o teste da razão, se o limite for menor que 1, a série converge.
Neste caso, o limite é 1/2, que é menor que 1.
Portanto, podemos concluir que a série infinita
converge.
Resposta
Converge