Dê um exemplo de uma sequência a n n decrescente e com a n   >   0 tal que a série alternada

∑ n = 0 + ∞ - 1 n a n

É divergente

Passo 1

Iremos criar um exemplo de uma sequência decrescente e positiva a n tal que a série alternada ( ∑ n = 0 ∞ - 1 n a n ) seja divergente. Para isso, devemos nos atentar ao fato de que:

Dada uma série alternada ∑ n = 0 + ∞ - 1 n a n , caso a série satisfaça as condições

  1. a n + 1 ≤ a n
  2. l i m n → ∞ a n = 0

a série será convergente. O que buscamos é algo que falhe em uma das duas letras das condições.

Passo 2

Como o enunciado pediu uma função decrescente, só nos resta então encontrar uma função decrescente que seu limite seja diferente de zero quando o limite tender ao infinito.

Uma função com esta característica é a

a n = 1 n + 1

pois é uma função decrescente porém o seu limite ao infinito é 1

Resposta

[ ∑ n = 0 ∞ - 1 n a n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 n + 1 ]

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