UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 7k
Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:
k)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.
Pra isso, vamos primeiro tentar associar nossa série com uma série conhecida, como a série geométrica. A série geométrica é dada de forma geral por:
E ela é convergente se , ou seja, a série converge para a razão no intervalo de a . Sendo assim, ela tem sua soma dada por:
Agora, se , a série geométrica diverge. E o que isso tem a ver com a nossa série? É que nós podemos escrever a nossa série na forma fatorada:
Repare que temos duas séries geométricas, então vamos avalia-las com base nas definições acima.
Vamos lá!
Passo 2
Nós temos:
Observe que na série da esquerda, nossa razão é , que é menor do . Então, podemos dizer que a série converge.
Na série , temos uma razão . Portanto, ela também converge. E a soma ou subtração de duas séries convergentes também é convergente. Logo,
Passo 3
Agora podemos calcular a soma das duas séries. Para e , temos a soma:
Agora para e , temos:
Portanto, a soma da nossa série original será:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉