Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:

k) ∑ n = 0 ∞ 2 n - 1 3 n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.

Pra isso, vamos primeiro tentar associar nossa série com uma série conhecida, como a série geométrica. A série geométrica é dada de forma geral por:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

E ela é convergente se r < 1 , ou seja, a série converge para a razão r no intervalo de - 1 a 1 . Sendo assim, ela tem sua soma dada por:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Agora, se r ≥ 1 , a série geométrica diverge. E o que isso tem a ver com a nossa série? É que nós podemos escrever a nossa série na forma fatorada:

∑ n = 0 ∞ 2 n - 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ 2 3 n - ∑ n = 0 ∞ 1 3 n

Repare que temos duas séries geométricas, então vamos avalia-las com base nas definições acima.

Vamos lá!

Passo 2

Nós temos:

∑ n = 0 ∞ 2 3 n - ∑ n = 0 ∞ 1 3 n

Observe que na série da esquerda, nossa razão é r = 2 3 , que é menor do 1 . Então, podemos dizer que a série converge.

Na série ∑ n = 0 ∞ 1 3 n , temos uma razão r = 1 3 . Portanto, ela também converge. E a soma ou subtração de duas séries convergentes também é convergente. Logo,

∑ n = 0 ∞ 2 n - 1 3 n → c o n v e r g e

Passo 3

Agora podemos calcular a soma das duas séries. Para r = 2 3 e a = 1 , temos a soma:

∑ n = 0 ∞ 2 3 n = 1 1 - 2 3

= 1 1 3 = 3

Agora para r = 1 3 e a = 1 , temos:

∑ n = 0 ∞ 1 3 n = 1 1 - 1 3

= 1 2 3 = 3 2

Portanto, a soma da nossa série original será:

∑ n = 0 ∞ 2 n - 1 3 n = 3 - 3 2

= 3 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n v e r g e

∑ n = 0 ∞ 2 n - 1 3 n = 3 2

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