Um arame metálico forma um circuito retangular, de altura h , largura   w e massa   m . Esse arame tem uma resistência total igual a R . Na Figura, podemos ver que, em um certo instante de tempo, uma parte do aro está e m   y   >   0 e outra em y   <   0 . O plano y   =   0 (linha azul tracejada) separa a região onde o campo magnético aponta na direção + z da região onde o campo magnético aponta na direção – z , como mostra a Figura. Observe a distância   y entre a linha tracejada azul e o braço horizontal inferior da espira.

Se y > 0 , temos B → = + B 0 z ^ ; Se y < 0 , B → = - B 0 z ^ .

Suponha que esse aro cai com velocidade vertical v constante ( | y |   <   h ) sob a ação apenas de seu próprio peso e das forças magnéticas agindo sobre ele. Todas as respostas abaixo devem ser apresentadas apenas em função das variáveis do problema: h ,   w ,   v ,   g ,   B 0 ,   R ,   m (use apenas as necessárias).

Quando o aro está colocado como mostra a Figura, para todos os itens:

  1. Calcule a taxa de variação no tempo do fluxo magnético sobre o aro
  2. Calcule a f e m sobre o aro e a corrente induzida. Seu sentido é horário ou anti horário? Justifique sua resposta
  3. Calcule a força magnética resultante sobre o aro
  4. Calcule o valor da velocidade constante v com que o aro cai. Lembre-se que a velocidade é um vetor
  5. Calcule o valor da potencia elétrica P e l dissipada no aro
  6. Calcule a potencia P m g fornecida elo trabalho da força peso sobre o aro. Calcule P m g / P e l

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Vamos começar pelo vetor normal à superfície: n ^ = z ^ . Para o fluxo, teremos duas contribuições, da área w y da parte inferior da espira e da área ( h + y ) w da parte superior. Daí o fluxo magnético fica:

Φ B = - y w - B 0 z ^ + h + y w B 0 z ^ ⋅ n ^

Φ B = - y w - B 0 z ^ + h + y w B 0 z ^ ⋅ z ^ = 2 y w B 0 + h w B 0

E a variação temporal do fluxo é a derivada no tempo dessa expressão:

d Φ B d t = 2 w B 0 d y d t  

E sabemos que d y / d t é igual a velocidade - v :

d Φ B d t = - 2 w B 0 v

Passo 2

Letra (b):

A f e m pode ser obtida através da lei de Lentz! Saca só:

ϵ = - d Φ B d t = - 2 w B 0 - v = 2 w B 0 v

E a corrente induzida pode ser encontrada através da lei de ohm:

ϵ = R i B

i B = 2 w B 0 v R

E o sentido? O sentido é o anti-horário, pois i B > 0 e cria um fluxo positivo, se opondo à mudança.

Passo 3

Letra (c): agora vamos calcular a força.

A força total vai ser a soma de cada uma das forças em cada fio. Em um deles, a força vai ser:

F = i L B s e n θ

O vetor deslocamento tem módulo w e na direção perpendicular de cada um dos campos B 0 . O ângulo entre eles é 90 ° , assim a força em um deles é:

F = i B w B 0 s e n 90 = 2 w B 0 2 v R

E a força total é o dobro desse valor:

F t o t a l = 2 F = 4 w B 0 2 v R

Show! Vamos pra letra (d)?

Passo 4

Letra (d):

A resultante total sobre o aro é nula, pois a velocidade é constante e isso significa que a aceleração e a força resultante são iguais a zero.

Sendo assim, só temos a força gravitacional (apontando para baixo) e a força magnética (apontando para cima):

- m g + 4 w B 0 2 v R = 0

E daqui podemos achar o valor da velocidade v :

4 w B 0 2 v R = m g

v = m g R 4 w B 0 2

Tranquilo? Então borá pra letra (e)!

Passo 5

Letra (e):

A potência elétrica dissipada é dada por:

P e l = i B 2 R

A corrente já foi calculada, então agora é só substituir:

P e l = 2 w B 0 v R 2 R

P e l = 4 w 2 B 0 2 v 2 R

E agora usando a expressão para a velocidade que encontramos no passe anterior temos:

P e l = 4 w 2 B 0 2 R m g R 4 w B 0 2 2 = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

Beleza até aqui? Vamos para o último item?

Passo 6

Letra (f):

E a potência P m g é dada através da velocidade:

P m g = F v = m g v

Usando a expressão para a velocidade do item (d) temos:

v = m g R 4 w B 0 2

P m g = m g m g R 4 w B 0 2 = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

E essa é exatamente a expressão para a P e l encontrada no passo anterior! Assim a razão entre as potências fica:

P m g P e l = 1

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   d Φ B d t = 2 w B 0 v

b ) ϵ = 2 w B 0 v

i B = 2 w B 0 v R ,   a n t i - h o r á r i o

c ) F t o t a l = 4 w B 0 2 v R

d ) v = m g R 4 w B 0 2

e ) P e l = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

f ) P m g = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

P e l P m g = 1

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