Um bastão retilíneo, de comprimento a , massa m e resistência R , desliza, sem atrito, sobre um fio (rígido) condutor ideal (sem resistência), em forma de U . O sistema todo está completamente imerso em uma região de campo magnético constante (estacionário e uniforme), perpendicular ao plano que contém o sistema. Inicialmente, uma força externa é aplicada e o bastão move-se com uma velocidade constante v → 0 para a direita. A partir do instante t = 0 , essa força externa deixa de agir e o bastão passa a mover-se apenas sob a ação da força magnética, com velocidade v → t . Despreza a capacitância e a autoindutância do sistema, assim como a corrente de deslocamento.

  1. Qual é o módulo da força eletromotriz induzida no circuito (fio + bastão)?
  2. Qual é o módulo da (intensidade de) corrente elétrica que passa pelo bastão?

Passo 1

A força eletromotriz pode ser calculada pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Precisamos calcular a taxa de variação do fluxo magnético. O fluxo é dado pela fórmula:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

O campo pode ser escrito, de acordo com o enunciado, pela expressão:

B → = B - z ^

Onde B é uma constante positiva. Arbitremos nossa área no sentido positivo de z ^ . Portanto, o produto escalar fica:

B → ∙ d A → = - B d A

Substituindo da fórmula, puxamos a constante para fora:

ϕ B = - B ∬ S d A

Que resulta na área do retângulo de dimensões:

Portanto, o fluxo é:

ϕ B = - B a x

Onde x é uma função do tempo, pois a barra se move.

Passo 2

Substituindo na Lei de Faraday:

E = - ∂ - B a x ∂ t

Puxando as constantes pra fora derivamos x com respeito ao tempo:

E = B a ∂ x ∂ t

Que é a conhecida expressão do módulo da velocidade:

E = B a v t

Passo 3

Em seguida, gostaríamos de calcular a intensidade da corrente. Como sabemos que o circuito tem resistência R , pela Lei de Ohm:

E = R I

B a v t = R I

Logo:

I = B a v t R

Resposta

a)

E = B a v t

b)

I = B a v t R

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