Em uma região de campo magnético uniforme B   =   B ( t )   z , um aro condutor circular de raio r ( t ) está localizado no plano x , y   ( r 2 ( t )   =   x 2 +   y 2 ) . Suponha que a resistência deste aro seja constante e igual a R . Suponha que:

B t = B 0 ( 1 + t / τ )

r t = r 0 1 + t τ ,

Onde τ é uma constante de tempo desconhecida.

  1. Desenhe um esquema mostrando o aro, a direção do campo magnético, a direção da corrente induzida no aro e a força sobre o aro devida ao campo magnético.
  2. Calcule o fluxo magnético e a f e m E ( t ) sobre o aro. Obtenha expressões para a corrente induzida i D e para o valor da força magnética agindo sobre um segundo do aro de comprimento d l .
  3. Calcule a potencia instantânea dissipada P d i s s ( t ) no aro por efeito Joule.
  4. Suponha que forças externas agindo uniformemente sobre o aro, na direção radial, são responsáveis pelo aumento do raio do aro. Calcule a potência P e x t ( t ) em um certo instante de tempo t que as forças externas realizam sobre o aro. Despreze qualquer energia elástica do material que constitui o aro. É possível dizer que P e x t t = P d i s s ( t ) ? Justifique sua afirmação.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

d l em verde. A força induzida é radial para dentro (representada em preto no desenho) em todos os pontos do aro e assim o campo magnético está perpendicular à página para fora. A corrente induzida está representada pelo vetor em azul. O desenho esquemático fica mais ou menos assim:

Passo 2

Letra (b):

O fluxo magnético é o produto da área pelo campo. A expressão do campo foi dada e a área é a área da espira de raio r 0 , então o fluxo é:

Φ = π r 0 2 B 0 ( 1 + t / τ )

A fem induzida é dada pela derivada temporal do fluxo, então vamos à derivada:

ϵ = - d Φ d t = - π r 0 2 B 0 τ

E a corrente induzida é dada pela lei de ohm “quem vê U RI”:

ϵ = R i D

i D = - π r 0 2 B 0 R τ

E a força magnética é radial para dentro agindo sobre o elemento de aro é:

d F = i D . d l   B . s e n θ = - π r 0 2 R τ . d l B 0 2 R ( t + τ )

Tranquilo?

Passo 3

Letra (c):

Agora queremos saber a potencia dissipada por efeito joule. Com uma resistência R e corrente i a potencia dissipada é:

P d i s s = R i 2

Agora é só substituir:

P d i s s = R i D 2 = R - π r 0 2 B 0 R τ 2

P d i s s = π 2 r 0 4 B 0 2 R τ 2

Vamos para o último item?

Passo 4

Letra (d):

A força externa aumenta o aro a uma taxa de:

d r t d t = d d t r 0 1 + t τ = r 0 τ = v 0 = c t e

Assim, a potencia externa realizada pela força externa, que se opõe á força magnética apenas (o aro não gira, é sempre bom lembrar!) é positiva (ambas, força externa e velocidade do elemento do aro ao radiais para fora):

d P e x t = d F e x t . d d t r t = π r 0 2 . d l . B 0 2 R ( t + τ ) v 0

= π r 0 3 d l B 0 2 R τ ( t + τ )

E somando sobre todos os elementos temos que d l = 2 π r ( t ) , daí a potência externa fica:

P e x t = π r 0 3 2 π r 0 1 + t τ B 0 2 R τ 2 ( t + τ )   = 2 π 2 r 0 4 B 0 2 R τ 2 = 2 P d i s s

A razão para a potencia externa ser maior que a potencia dissipada é que alem de injetar a energia perdida na resistência R , a potência injetada tem que alimentar de energia um indutor cada vez maior, o aro! Olha que louco!

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )  

b ) Φ = π r 0 2 B 0 ( 1 + t / τ )

ϵ = - d Φ d t = - π r 0 2 B 0 τ

i D = - π r 0 2 B 0 R τ

d F = - π r 0 2 R τ . d l B 0 2 R ( t + τ )

c ) P d i s s = π 2 r 0 4 B 0 2 R τ 2

d ) P e x t = 2 P d i s s

A razão para a potência externa ser maior que a potência dissipada é que alem de injetar a energia perdida na resistência R , a potência injetada tem que alimentar de energia um indutor cada vez maior, o aro!

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