Uma barra condutora de comprimento L = 40   c m é apoiada sobre trilhos condutores fixos e indeformáveis, definindo um circuito retangular, mostrado na figura. A resistência equivalente do circuito é constante e vale R = 0,002 Ω . Parte da superfície deste circuito é penetrada perpendicularmente por um campo magnético constante e uniforme de módulo B = 0,2   T , entrando na página.

Por um mecanismo não mostrado na figura, a barra é forçada a oscilar, de modo que sua posição descreve um MHS (movimento harmônico simples), com equação dada por:

x t = 100 + 10 . cos ⁡ π 10 . t     [ c m ,   s ]

a ) Calcule a fem induzida no circuito como um função do tempo, ε i n d ( t ) .

b ) Calcule o valor máximo da corrente induzida, i m á x . Em seguida, para o primeiro período completo de oscilação da barra ( 0 < t < T ) , encontre o(s) intervalo(s) de tempo em que a corrente induzida possui sentido horário e o(s) intervalo(s) em que ela possui sentido anti-horário.

c ) Em uma nova situação, a barra é deixada em repouso na posição x = 100   c m e o campo magnético, sem mudar sua orientação, varia no tempo de acordo com a função:

B t = 0,3 . e - 10 t   [ T , s ]

Encontre o valor máximo da corrente induzida e responda se seu sentido ‘horário ou anti-horário.

Passo 1

a )    

Para determinar a fem induzida, vamos utilizar a Lei de Faraday, ela dos diz:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ∂ ( B . L . x ) ∂ t

ε = - B . L . ∂ x ∂ t

Sabemos como x varia em função de t , pela equação que foi dada no enunciado:

x t = 100 + 10 . cos ⁡ π 10 . t     [ c m ,   s ]

Calculando a derivada, temos:

∂ x ∂ t = - 10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

Substituindo na Lei de Faraday:

ε = - B . L . - 10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

Vamos agora substituir os valores do campo e do comprimento da barra!

ε = 0,2 10 4 . 40 .   10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

ε ( t ) = π . 8 × 10 - 4 . sen ⁡ π 10 . t

Você deve estar se perguntando de onde surgiu aquele 10 4 que está dividindo o campo. Bom, o campo é dado em Tesla, ou seja, V . s . m - 2 , no entanto, estamos utilizando a unidade centímetros e não metros, por isso devemos dividir por 10 4 , para que a unidade do campo vire V . s . c m 2 ! Show??

Passo 2

-

b )

Vamos primeiro determinar a corrente em função do tempo, temos a nossa velha e conhecida fórmula:

i = ε R

Substituindo a função da fem, temos;

i = π . 8 × 10 - 4 0,002 . sen ⁡ π 10 . t

i = 0,4 . π . sen ⁡ π 10 . t

A corrente máxima ocorre quando sen ⁡ π 10 . t = 1 , portanto:

i m á x = 0,4 . π   A

Para determinar o sentido da corrente, vamos primeiro achar o período da função, temos que:

T = 2 . π π 10 = 20   s

Vemos que a função assume valores positivos para 0   s < t < 10   s , e negativos para 10   s < t < 20   s , como arbitramos o vetor área paralelo ao campo(entrando no papel), temos:

  • Sentido positivo = sentido horário - para 0   s < t < 10   s
  • Sentido negativo = sentido anti-horário – para 10   s < t < 20   s
  • Passo 3

    c )

    Para resolver esse item, vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item a só que agora, temos x como valor fixo e quem varia é o campo B , vamos começar com a Lei de Faraday:

    E = - ∂ ϕ B ∂ t

    Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

    ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

    Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

    ϕ B = B . A

    Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

    ε = - ∂ ( B . L . x ) ∂ t

    ε = - L . x ∂ B ∂ t

    Vamos agora calcular a derivada do campo magnético, se liga:

    ∂ B ∂ t =   0,3 . - 10 . e - 10 t  

    ∂ B ∂ t =   - 3,0 . e - 10 t

    Substituindo na equação da tensão, e substituindo os valores de L e x , temos:

    ε = - L . x ∂ B ∂ t

    ε = - L . x - 3,0 . e - 10 t

    ε = - 0,4 .   1 . - 3,0 . e - 10 t

    ε = 1,2 . e - 10 t

    Veja que dessa vez estamos passando tudo para metro, pois o campo está em Tesla V .   s .   m - 2 !

    A corrente é dada por:

    i = ε R

    i = 1,2 . e - 10 t 0,002

    i = 600 . e - 10 t

    A corrente máxima ocorre quando e - 10 t = 1 , ou seja:

    i m á x = 600   A

    O sentido será positivo, ou seja, sentido horário, pois arbitramos o vetor área paralelo ao campo!

    Resposta

    a )   ε ( t ) = π . 8 × 10 - 4 . sen ⁡ π 10 . t

    b )   i m á x = 0,4 . π   A

  • Sentido positivo = sentido horário - para 0   s < t < 10   s
  • Sentido negativo = sentido anti-horário – para 10   s < t < 20   s

c )   i m á x = 600   A , sentido horário.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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