A figura mostra uma espira condutora circular de raio R , localizada no plano x y . A espira está submetida a um campo magnético variável no tempo e no espaço dado por B r , t = B 0 r 4 e - α t , onde B 0 e α são constantes positivas e r é a distância radial até o centro C da espira. O campo magnético B atua na região hachurada da figura, sendo perpendicular à página e apontando para fora da mesma. Nestas circunstâncias, determine:

(a) O fluxo magnético através da espira.

(b) A força eletromotriz induzida na espira.

(c) O sentido de circulação da corrente induzida (horário ou anti-horário) num instante de tempo finito t . Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver aqui os itens (a) e (b), beleza?

O primeiro passo é calcular o fluxo magnético através da espira. Para isso, vamos utilizar a própria definição de fluxo magnético, dada por:

Φ B = ∫ B → ∙ d A → .

O que precisamos analisar então para calcular a expressão acima? Vamos lá:

  • O campo B → “sai” do papel, ou seja, aponta no sentido crescente da direção de z ;
  • O elemento de área d A → , que é normal à superfície, também “sai” do papel;
  • Isso significa que o produto escalar pode ser escrito como: B → ∙ d A → = B d A .

Temos, então:

Φ B = ∫ B   d A .

Passo 2

O próximo passo é substituir na expressão acima o valor do módulo do campo B ( r , t ) e do elemento d A .

Temos:

B r , t = B 0 r 4 e - α t ,

A = π r 2 → d A = 2 π r d r ,

Φ B = 2 π B 0 e - α t ∫ r 5 d r ,

Φ B = π B 0 e - α t r 6 3 0 R = π B 0 e - α t R 6 3 .

Passo 3

Para calcular a força eletromotriz induzida na espira, vamos utilizar a Lei de Faraday:

ε = - d Φ B d t = - d d t π B 0 e - α t R 6 3 ,

ε = - π B 0 R 6 3 d d t e - α t ,

ε = π α B 0 R 6 3 e - α t .  

Resposta

(a) Φ B = π B 0 e - α t R 6 3 .

(b) ε = π α B 0 R 6 3 e - α t .

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