A figura mostra uma barra de comprimento L que é forçada a se mover com velocidade constante v ao longo de trilhos horizontais.

Os trilhos são conectados à direita por um fio condutor. A barra, os trilhos e o fio formam assim uma espira condutora. A resistência elétrica da barra vale R , a resistência do resto da espira é desprezível. Uma corrente i que percorre um fio longo situado a uma distância a da espira produz um campo magnético (não uniforme) B que atravessa a espira (como mostrado em figura).

Nestas condições, determine:

a ) a força eletromotriz induzida na espira;

b ) a corrente induzida na espira;

c ) a potência dissipada da espira;

d ) o módulo, a direção e o sentido da força que deve ser aplicada à barra por um agente externo para que esta se mova com velocidade constante.

Passo 1

a ) a força eletromotriz induzida na espira;

A f e m induzida é determinada através da Lei de Faraday, dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

O fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Então precisamos começar calculando o campo magnético gerado pelo fio.

Esse campo pode ser calculado através da Lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Onde I i n t é a corrente que passa por dentro da amperiana que, nesse caso, vale i . Como se trata de um fio, o campo magnético a uma distância r do fio é dada por:

B 2 π r = μ 0 i

B = μ 0 i 2 π r

Passo 2

O fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Onde d A é um pedaço infinitesimal da área.

Logo:

B = μ 0 i 2 π r

d A = x   d r

a ≤ r ≤ L + a

Assim, substituindo isso na expressão do fluxo magnético, teremos:

ϕ B = ∫ a L + a μ 0 i 2 π r   x   d r

ϕ B = μ 0 i x 2 π ∫ a L + a d r r

ϕ B = μ 0 i x 2 π ln ⁡ L + a a

Passo 3

Finalmente, a f e m induzida é dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Logo:

ε = - ∂ ∂ t μ 0 i x 2 π ln ⁡ L + a a

ε = - μ 0 i 2 π ln ⁡ L + a a ∂ x ∂ t

ε = - μ 0 i v 2 π ln ⁡ L + a a

Como queremos somente a f e m , não precisamos nos preocupar com o sinal.

ε = μ 0 i v 2 π ln ⁡ L + a a

Passo 4

b ) a corrente induzida na espira;

Agora que já temos a f e m induzida, para calcular a corrente induzida, basta usar a Lei de Ohm:

ε = R I i n d → I i n d = ε R

Substituindo a expressão de ε , teremos:

I i n d = μ 0 i v 2 π R ln ⁡ L + a a

Passo 5

c ) a potência dissipada da espira;

Por definição, a potência dissipada é dada por:

P = I i n d 2 R

Logo, substituindo a expressão de I i n d , teremos:

P = μ 0 i v 2 π R ln ⁡ L + a a 2 R

P = μ 0 2 i 2 v 2 4 π 2 R ln 2 ⁡ L + a a

Passo 6

d ) o módulo, a direção e o sentido da força que deve ser aplicada à barra por um agente externo para que esta se mova com velocidade constante.

A força aplicada à barra para que permaneça com velocidade constante deve ter o módulo, a mesma direção e sentido oposto ao da força magnética sobre a barra, gerada pelo campo magnético B → .

A força magnética sobre a barra, por definição, é dada por:

F → m = ∫ corpo   I   d l → × B →

Nessa fórmula, d l → é um vetor na mesma direção e sentido da corrente induzida. Isso significa que precisamos descobrir o sentido da corrente induzida.

Para isso, vamos recorrer à Lei de Lenz, que diz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela quer dizer é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

Nesse caso, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = μ 0 i x 2 π ln ⁡ L + a L

Como x está aumentando com o tempo, o fluxo magnético também está aumentando, isso significa que o campo magnético vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo, ou seja, entrando na página.

Para que isso ocorra, a corrente induzida tem que estar no sentido horário.

Voltando ao problema...

Passo 7

Graficamente, vamos dar uma olhada no que está acontecendo:

Daqui, podemos tirar que:

d l → = d y   j ^

B → = μ 0 i 2 π y k ^

Logo:

d F → m = I i n d d y   j ^ × μ 0 i 2 π y k ^

d F → m = μ 0 i I i n d 2 π d y y     j ^ × k ^

d F → m = μ 0 i I i n d 2 π d y y     i ^

Integrando esse cara de a até L + a , teremos:

F → m = μ 0 i I i n d 2 π ∫ a L + a d y y i ^

F → m = μ 0 i I i n d 2 π ln ⁡ L + a a i ^

Assim, como a barra se movimenta com velocidade constante:

F → m + F → e x t = 0 → F → e x t = - F → m

FINALMENTE:

F → e x t = μ 0 i I i n d 2 π ln ⁡ L + a a - i ^

Resposta

a )

ε = μ 0 i v 2 π ln ⁡ L + a a

b )

I i n d = μ 0 i v 2 π R ln ⁡ L + a a

c )

P = μ 0 2 i 2 v 2 4 π 2 R ln 2 ⁡ L + a a

d )

F → e x t = μ 0 i I i n d 2 π ln ⁡ L + a a - i ^

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